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Sur V'évaluation approximative des intégrales définies. 
Par M. Andræ. (voy. pag. 165—201). 
V'intégrale définie 
9+4 
ydæ, 
gi 
ou y est une fonction de æ, pourra toujours, lorsque y et æ sont 
considérés comme des coordonnées rectangulaires, étre repré- 
sentée par une aire comprise entre 1'axe des abscisses, la courbe 
y — f(æ), et les ordonnées correspondant aux abscisses g et 
g+4. Cette représentation géométrique de la fonction proposée a 
donné lieu å un grand nombre de formules plus ou moins exactes, qui 
donnent toutes. la valeur approximative de Pintégrale en fonctions 
linéaires de m ordonnées ÅA,, Å,, ÅA;.-- An correspondant aux 
n abscisses d45 dg, dg+-- dn: On obtient en effet ces formules 
en remplacant la courbe y — f(æ) par d”autres courbes dont les 
ajires se laissent facilement calculer, et qui, en passant par les m 
points déterminés par les coordonnées a et A, se rapprochent telle- 
ment de la courbe donnée, que la différence entre les aires 
correspondantes peut étre regardée comme nulle. C'est ainsi 
que pour la formule connue de Simpson, qui suppose toujours nm 
impair, et par conséquent de la forme 2m + 1, les abscisses 
s'obtenant en divisant Vintervalle 4 en un nombre pair de par- 
karl, I å ; i 
lies égales TER on fait passer par chaque 3 points successifs des 
m 
paraboles ordinaires du second degré; mais cette formule, qui est 
si répandue précisément å cause de sa grande simplicité, ne peut 
donner qu”un résultat -assez peu approché, puisque la courbe pro- 
posée est remplacée ici par une quantité de fragments de courhes 
discontinus. On obtiendra aussi une exactitude bien plus grande 
en se servant de la courbe parabolique du degré m — 4 qui passe 
par tous les » points donnés, ou, en d'autres termes, en recou- 
rant å la méthode développée par Cotes, et dans laquelle 4, 
que nm soit pair ou impair, est toujours divisé en m — 4 parlies 
égales. Mais cette division de Vintervalle Z en parties égales est 
entiérement arbitraire, et n'est nullement propre å fournir le meil- 
