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Toutefois il peut arriver que, suivant la nature particuliétre de 
ces valeurs données d”avance, on puisse obtenir une exactitude 
encore plus grande, et tel est le cas par exemple avec les for- 
mules de Cotes, od les m valeurs de a sont données, et od la 
différence, lorsque m est impair, ne commence qw'au terme de 
Pordre n + 1. 
La solution la plus exacte et la plus générale s'obtient å 
Paide des formules de Gauss, ou toutes les 2n valeurs de a et 
de R ont été déterminées de maniére å faire disparaitre les 
2n premiers coefficients,  depuis k, jusqwå  k2n-4  inclusive- 
ment. Les $$ 5 et 6 s'occupent spécialement du développement 
de ces formules. On y voit d'abord que les 2m équations (25) 
doivent toujours étre satisfaites, tant pour mn — 2m que pour 
n — 2m + 141, et que, dans ce dernier cas, Véquation (26) doit 
Pétre également, ce qui entraine une symétrie parfaite pour les 
valeurs de å et de BR. Toute la difficulté se réduit ensuite å la 
détermination des m valeurs a,, d5, d3+--. dm) dont les carrés, 
qui sont désignés par 9,7 92, 93--- gm» sont tous des racines 
d'une méme équation (34) du degré m. J'y démontre enfin qu'on peut 
établir directement un systéme de m équations linéaires, qui détermi- 
nent les coefficients de cette équation, lesquels sont tous des fractions 
simples et rationnelles. Pour mn — 2m; il faut employer le sy- 
stéme (35), et, pour » = 2m + 4, le systtme (36). 
Lorsqu'on aura développé la solution la plus générale, dans 
laquelle on dispose librement de toutes les valeurs de a et deR, 
il sera trés facile de traiter tous les cas spéciaux, od I'on sup- 
pose données d”avance un nombre plus ou moins grand de ces 
valeurs. Les deux paragraphes suivants passent en revue diverses 
de ces formules, entre autres celles de Cotes. Le 88 traite d”une 
classe particuliére de formules, qui méritent de fixer V'attention, 
parcequ'elles fournissent la détermination la plus simple possible 
de Tintégrale proposée, dont la valeur s'obtient directement en 
.préenant la moyenne arilhmétique des m valeurs de AÅ.  Sous le 
rapport de l'exactitude, ces nouvelles formules sont, pour des 
valeurs paires de m, beaucoup au-dessus de celles de Cotes, mais 
elles doivent naturellement céder le pas å celles de Gauss. 
Pour se faire une idée claire de 1'exactitude des formules, il 
faut déterminer le coefficient k du premier des termes qui ne 
disparaissent pas dans la série (e). Ce coefficient peut toujours 
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