Ueber geodätische Kreise. 41 



Fläche und den beiden Parametern a h die geodätischen 

 Curven unserer Fläche, so liefern zwei Gleichungen der Form 



wie ich hier nicht näher ausführen brauche, immer eine 

 Berührungstransformation der verlangten Art; und dabei ist 

 klar, dass die Form der Relation i2 = in unbegrenzt vielen 

 Weisen geändert werden kann. 



Betrachtet man dagegen alle dreifach unendlich viele 

 geodätische Kreise^) einer Fläche, so ist leicht einzusehen, 

 dass es im Allgemeinen keine infinitesimale ßerührungstrans- 

 formation giebt, welche diese Kreise unter sich vertauscht' 

 In dieser Abhandlung gebe ich eine vollständige Erledigung 

 der anscheinend schwierigen Frage nach der allgemeinsten Form 

 des Sogenelements einer Fläche, deren geodätische Kreise eine, 

 infinitesimale Berührungstransformation gestatten. 



Unter den verschiedenen Resultaten, die ich in dieser 

 Weise erreiche, mögen hier nur die folgenden hervorgehoben 

 werden : 



1) Die Flächen constant er Krümmung sind die einzigen^ 

 deren geodätische Kreise sich durch eine Relation der Form 



{cc — af + iy— bf — c- =^ 

 darstellen lassen'^). Dieser Satz ist, wie man sieht, analog 

 dem schönen Beltramischen Satze, dass die Flächen constanter 

 Krümmung die einzigen sind, deren godätische Linien durch 

 eine lineare Gleichung 



ax ■¥ by + c ^ 

 darstellbar sind. 



^) Geodätischen Kreis nenne ich jede auf einer Fläche gelegene Curve 

 deren geodätische Krümmung constanten Werth besitzt. 



^) Der Satz des Textes lässt sich auch folgendermassen aussprechen : 

 Kann die Differentialgleichung der geodätischen Kreise durch eine beliebige 

 Berührungstransformation die Form 



cPy 



— ~ — n 



erhalten, so hat die Fläche constante Krümmung. 



