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Gestatten die geodätischen Kreise einer Fläche eine oder 

 mehrere infinitesimale Berührungstransformationen, so sind drei 

 Fälle denkbar. Entweder gieht es zehn derartige Transforma- 

 tionen, und dann hat die Fläche constante Krümmung, während 

 die betreffenden Kreise durch eine Relation der Form 

 (c» — af +(y — by — c''^0 



darstellbar sind. Oder auch giebt es zwei conforme Punkt- 

 transformationen; dann ist die Fläche abwickelbar auf eine 

 specielle Rotationsfläche; nur ausnahmsweise werden insbe- 

 sondere auch die geodätischen Linien durch diese beiden Trans- 

 formationen unter sich permutirt. Im dritten und allgemeinen 

 Falle giebt es nur eine inf. Transformation; dann ist die 

 Fläche abwickelbar auf eine Fläche, die unendlich oft mit sich 

 selbst aehnlich ist. 



9. Wir fanden früher, dass die gesuchte infinitesimale 

 Berührungstransformation W immer die Form 



(15) Wiæyy') - 2 n (æy) Vy'' - g (æy)y' + J? (a! y) 



besitzt. Diese Form ist einer bemerkenswerthen geometrischen 

 Interpretation fähig, wie jetzt gezeigt werden soll. 



Man wähle einen arbiträren Punkt æy und führe auf die 

 hindurchgehenden Linienelemente a)\yy' unsere inf. Trans- 

 formation 



Sy' o.f ,^d£i xdü.\ drj /dn d$\ ,„ 



d$ 

 dy ' ^ dxJ ' dx ' ^ \dy dyJ ^ dy 



aus. Die neuen Lagen œ + ôœ, y + dy, y' + ôy' dieser Linien- 

 elemente bilden eine infinitesimale Curve, nämlich den Ort 



