Abbildung von geodätischen Kreisen. 63 



§ 1. 

 Analytische Formulirung des Problems. 



Ist zwischen den Punkten zweier Flächen ein Entsprechen 

 festgestellt, so giebt es nach einer Bemerkung von Tissot im 

 Allgemeinen auf der einen Fläche zwei einander orthogonal 

 schneidende Curvenschaaren 



æ - Const., y = Const , 



deren entsprechende Curvenschaaren auf der zweiten Fläche 



æ = Const, y - Const., 



ebenfalls ein Orthogonalsystem bilden. Dieser Satz ist nur 

 dann ungültig, wenn der einen und nur der einen Schaar 

 Minimalcurven^) der einen Fläche ebensolche Curven auf der 

 zweiten Fläche entsprechen. Wir sehen vorläufig von diesem 

 Ausnahrafalle weg. 



Das Entsprechen zwischen den Punkten der beiden 

 Flächen kann, wenn wir die soeben besprochenen Orthogonal- 

 systeme als Gaussische Coordinatenlinien wählen, durch die 

 beiden Gleichungen 



æ = æ, y '- y 



bestimmt werden. Dabei hat das Bogenelement der einen 

 Fläche die Form 



ds^ = Edæ^ + Gdy^ 

 und dasjenige der zweiten die Form 



dsi'^=E^dæ^+G^dy\ 



Die geodätischen Curven der ersten Fläche werden nach 

 Gauss bestimmt durch die Gleichung 



2E—-G— E— 2G— — 

 ^o^_dE y'^ dy dy dæ dx dy _ 



^ dec 2G 2EG ^ 2EG ^ 2E~ 



') Minimalcurve nenne ich eine Curve, deren Bogenlänge gleich Null ist. 



