64 Sophus Lie. 



Also werden die geodätischen Kreise dieser Fläche bestimmt 

 durch 



1 y" ~ ^ _ y" — ^ 



dæ 

 oder durch eine Gleichung 3. 0. der Form 



r' -2/2' ^-§1^3 + 2/2 W{æyy') + a{æyy')^0. 



Dementsprechend werden die geodätischen Kreise der 

 zweiten Fläche bestimmt durch 



y'" -r' §^7!^^-^+ 2/2 W, (œ y y') + a,(a^y y') = 0. 



Sollen daher diese beiden Differentialgleichungen iden 

 tisch dieselbe Form besitzen, so muss zunächst 



E+2 0y'^ E^ + 2G ^y'^ 

 E + Gy^ '^ E^ + 0\y''- ' 



d. h. 



^ = ^ oder : G - \'E, G,=\E,. 



E E^ ■ ' 1 1 



Unsere beiden Bogenelemente haben somit die beiden 

 Formen 



ds^ = E (dæ^ + X dy% 



ds^^ = E^ida;^ + ?idt/), 



womit der folgende Satz erhalten ist: 



Bei der gesuchten Ahhildung entsprechen beiden Schaaren 

 Minimalcurven auf der einen Fläche ebensolche Curven auf 

 der zweiten Fläche. Die Abbildung ist somit conform. 



Wir können daher voraussetzen, dass die Bogenelemente 

 der beiden Flächen schon die Form 



ds^- = Z{æ y)-^ dx dy, ds^^-^ Z-^-"^ dx dy 



