432 Sophus Lie. 



und nehme dabei an, dass ich schon einen Multiplicator M, 

 und eine infinitesimale Transformation 



desselben kenne. Sind dann die ^k/=0 auf eine solche 

 Form gebracht, dass alle {M A\) identisch verschwinden, 

 während Gleichungen der Form 



BA,f—A,Bf=Xii A^f^... +Ai,„_.2^„_2/ 



bestehen, so ist der Ausdruck 



1= J5 log lf+:S^+2A,k 



(Math. Ann. Bd. XI, p. 508) nach mir entweder eine Con- 

 stante oder aber eine Lösung des vollständigen Systems. 

 Tritt der erste Fall ein, und ist dabei die betreffende Con- 

 stante gleich Null, so ist M, wie ich bei einer früheren Gele- 

 genheit ohne Beweis angedeutet habe, ein Multiplicator des 

 vollständigen Systems 



J[,/=0...^n-2/=0, -ß/=0, 



sodass die zugehörige Lösung sogleich durch eine Quadratur 

 gefunden wird; hiernach giebt eine neue Quadratur die noch 

 fehlende Lösung des Systems ^k/=0. Ist dagegen der Aus- 

 druck I identisch gleich einer nichtverschwindenden Con- 

 stante, so verlangt die Bestimmung der Lösung des Systems 

 A^f'=0, Bf = ^ die Integration einer gewöhnlichen Gleichung 

 erster Ordnung, die im Allgemeinen nicht durch Quadratur 

 erledigt werden kann. Ist diese Integration geleistet, so kann, 

 beweise ich, die Bestimmung der noch fehlenden Lösung des 

 Systems A\f = nicht allein^ wie im früheren Falle, durch 

 Quadratur sondern sogar durch Differentiation geleistet werden. 

 Nach der Auseinan-dersetzung dieser allgemeinen Theorie 

 betrachte ich überhaupt Differentialgleichungen n^^' Ordnung 



