438 Sophus Lie. 



ständigen Systems J.k/=0 darstellen, und dass daher das 

 Verbal tniss 



eine wirkliche Lösung von den Gleichungen ^k/= liefert. 

 Dabei darf diese Lösung keine Funktion von der früher gefun- 

 denen Lösung sein. Bestände in der That eine Kelation 

 der Form 



so wäre die Grösse 



7t (0) 



M 



A 



ein Multiplicator des vollständigen Systems Äkf=0,Bf=0, 

 was indess nicht der Fall sein kann. Also ist MA eine 

 von unabhängige Lösung von den Gleichungen A^f = 0. 



Fügen wir hierzu die Bemerkung, dass es nach dem 

 Vorangehenden nicht nothwendig ist, die Grösse p zu kennen, 

 um A berechnen zu können, so erkennen wir, dass die Inte- 

 gration des vollständigen Systems A^f = mit dem bekannten 

 Multiplicator M und der bekannten infinitesimalen Transfor- 

 mation Bf, wenn /constant und von Null verschieden ist, nach 

 der Erledigung einer Gleichung erster Ordnung, keine Qua- 

 dratur sondern nur Differentiation verlangt. 



Wir stellen die Frage, ob die soeben besprochene Diffe- 

 rentialgleichung erster Ordnung durch Quadratur erledigt wer- 

 den kann. 



Nehmen wir dabei an, wie wir ohne Beschränkung kön- 

 nen, dass Bf in solcher Weise gewählt worden ist, dass alle 

 (^k B) gleich Null sind, so deckt sich das Integrationsproblem 

 von den Gleichungen JLk/=0, welche die bekannte infinitesi- 

 male Transformation Bf gestatten, mit der Auffindung von 

 n solchen neuen unabhängigen Variabein y^ y^ • • • 2/n, dass 



