Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 441 



zwischen n unabhängigen Variabein CC]^ eine bekannte inßnitesi- 

 male Transformation Bf = 2^ -^ und einen bekannten Mul- 

 tiplicator M, so bildet man zunächst den Ausdruck 



Ist I keine Constante sondern eine wirkliche Funktion von 

 den 00^, so ist I eine Lösung des vollständigen Systems] eben- 

 falls ist BI eine solche Lösung . Sind daher I und BI unab- 

 hängige Funktionen von den oc^, so geschieht die Integration 

 von den A\f = durch Differentiation. Ist dagegen BI eine 

 FunJction von der schon gefundenen Lösung I, so verlangt die 

 Integration des vollständigen Systems eine Quadratur. — Ist 

 andererseits I eine Constante, so stellt sich die Sache wesent- 

 lich verschieden, jenachdem I gleich Null oder von Null ver- 

 schieden ist, in welchem letden Falle I ohne wesentliche Be- 

 schränkung gleich 1 gesetzt werden kann. Ist I gleich Null, so ist 

 M ein Multiplicator des vollständigen Systems ^k/ = 0, Bf= 

 dessen Lösung somit eine Quadratur verlangt; hiernach liefert 

 eine neue Quadratur die noch fehlende Lösung des Gleichungs- 

 systems ^k/=0. Ist dagegen I gleich 1, so findet man eine 

 Lösung des vollständigen Systems A\^f ^0, Bf ^ durch die 

 Integration einer Differentialgleichung erster Ordmmg, die sich 

 nicht durch Quadratur erledigen lässt ; hiernach findet man die 

 noch fehlende Lösimg von den Ay,f = durch Differentiation. 



§3. 



Transformationsthecrie von allen Gleichungen der 

 Form y" = Fixy). 



3. Ich stelle in diesem Paragraphen zunächst die Frage 

 nach der allgemeinsten Transformation 



y = Y(«2/), X = X{œy) 



