442 Sophus Lie. 



vermöge deren alle Gleichungen der Form 



in Gleichungen der analogen Form 



übergeführt werden. Setzen wir zur Abkürzung immer 



so wird 



dU _ dyü_ j 



— ; — tVv} ~ï T' ~ ^uv etc. 



dv du dv 



dy F. + Yyy' 



^ dx" JT^-h X^y' 



.,^ (X, + X,y') (r., + 2r.yy^ + Y,,y"' + T^yO - ( Y, + Y^y') 

 ^ (X,, + '■IX^.y' + X,,y' 2 + Xyy") {X^ + X.y'Y 



Dabei ist klar, dass im Ausdrucke der Grösse y" sowohl der 

 Nenner wie der Zähler von y' frei sein muss,'] wenn jede Glei- 

 chung y" = -F(xy) die Form \j" = $ {xy^ erhalten soll. Also 

 muss 



Xy = 0, X^ Yyy ■= 0, üXy_ jTxy Y y X XS = 



sein, sodass X und Y die Form 



X= X{x), Y= Ä Vx y + X^{x) 

 besitzen. Dies giebt: 



Satz. 2. Die Gleichungen 



X = X{œ\ y -AVX' . y + X^{x) 

 bestimmen die allgemeinste Transformation, welche alle Glei- 

 chungen der Form j" = -F(xy) in Gleichungen der analogen 

 Form y" = (f (xy) umwandelt. 



Dieser Satz wird uns später sehr nützlich sein. 

 4. Wir suchen sodann alle Gleichungen y" ■= F{xy), die 

 eine infinitesimale Transformation 



ÔX = S{xy) ôt, ôy = T/{xy) ôt 



gestatten. Dabei sehen wir von allen linearen Gleichungen 



y" = X(x) y + X^{x) 



