Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 443 



weg; dieselben sind ja nämlich reductibel auf die Gleichung 

 y" = 0, deren Gruppe bekannt und zwar dem Inbegriffe aller 

 projectivischen Transformationen der Cartesischen Ebene x j 

 identisch ist. 



Bei der infinitesimalen Transformation (4j erhalten y' 

 und y" die Incremente 



^ = (^y - 25, - Uyy') y" - è,yy'^ + {rf,, - 2B^y) y"^ 



Diese Werthe substituiren wir in die Gleichung 



8y" - F^B, -Fytf^O 

 und erhalten hierdurch die Bedingungsgleichung 



{Vj - 25x - 35yyO F - èyyy'^ + {rjyy - 25xy) y'^ 

 + {2vxY ~ 5.xx) y' + ?;xx — F^B, — Fyt) = 0, 



die hinsichtlich æ y und y' identisch bestehen soll. Also wird 

 zunächst 



so dass B und 77 jedenfalls die Form 



B-Xy^X„r,^ XY + ^^y + JTs 

 besitzen müssen. Ferner wird 



— 3^i^+ 3 X"y + 2X\ - Xi '' = 0, (X, — 2X\) F+ rj^^ 



-F^B — FyTf^O 



Wäre nun X verschieden von Null, so wäre F linear hinsicht- 

 lich «/, und da wir diesen Fall schon ausgeschlossen haben, so 

 können wir setzen 



^= 0, 2X2' - ^1"- 0; {^2 - 2-r/) F+ X2"2/ + ^z" - 

 F,X,--Fy {X^y + X,) = 



sodass 



X^=^X^' + B (5 = Const) 



