444 Sophus Lie. 



wird. Die gesuchte infinitesimale Transformation besitzt daher 

 die Form 



B=X,, v-^^i'y + By + X^ 



und die entsprechende Gleichung y" = F{æy) wird bestimmt 

 durch die Relation 



(5 - f X^') F+ \ X,"'y + ^3" - ^x X, 

 ~Fy aX,'y + By + X,)=^0 



5. Indem wir nun die Resultate der beiden vorangehenden 

 Nummern verbinden, gelingt es alle Gleichungen der Form 

 y" = F{æy), die eine continuirliche Gruppe gestatten, auf ein- 

 fache canonische Formen zu bringen. Gleichzeitig erhalten wir 

 eine naturgemässe Classification von den betreffenden Glei- 

 chungen. 



Sei 



eine vorgelegte Gleichung mit der infinitesimalen Transfor- 

 mation 



(5) ÔX = X,{x) ôt, ÔJ = (1 X, 'y + Bj + X,) ôt 



Um diese infinitesimale Transformation und die Gleichung 



j =■ F auf möglichst einfache canonische Formen zu bringen 



führen wir neue Variabeln æ y durch die Substitution 



æ^ <^(x), y = AVW.y^f{-^) 



ein. Alsdann wird 



oæ= ^'(x) X^{œ) ôt 



und dabei kann ^'(x) immer derart gewählt werden, dass ôx 

 constant 



oæ= C ôt 



wird. In den Formeln (5) können wir daher ohne wesent- 

 liche Beschränkung X^ = C setzen ; und also wird 



ÔX = Cot, ôj^iBj + X^) ôt. 

 Um diese Formeln noch mehr zu vereinfachen setzen wir 

 a?=x, 2/= ^y +/(x) 



