Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 445 



woraus 



dæ = Cot, dy = {By + Cf — Bf+ AX^) dt 

 Ist nun C oder B verschieden von Null, so kann Cf — Bf 

 + AX^ ohne Beschränkung gleich Null gesetzt werden. Die 

 entsprechenden Formen unserer infinitesimalen Transforma- 

 tion sind 



i), p + Byq, yq 



Ist dagegen B = C = 0, so ist die entsprechende infinitesimale 

 Transformation X^q wie man leicht einsieht, reductibel auf 

 die Form- q. 



Wir müssen jetzt die zu den gefundenen infinitesimalen 

 Transformationen entsprechenden Formen der Gleichung 

 y"'=F{æy) bestimmen. 



Zu der infinitesimalen Transformation p entspricht die 

 Gleichungsform y" = F{y). Die infinitesimale Transformation 

 p + Byq ist ohne Beschränkung reductibel auf die Form 

 p+yq] daher wird i^ in diesem Falle bestimmt durch die 

 Gleichung 



^ dF dF ^ 

 dæ dy 



und besitzt somit den Werth yD.(e-^y). Hat dagegen unsere 

 infinitesimale Transformation die Form yq, so wird F bestimmt 

 durch die Gleichung 



F-yFj = 



und besitzt daher die lineare Form F= Xy, die wir ausge- 

 schlossen haben. Hat endlich unsere infinitesimale Transfor- 

 mation die Form q, so besitzt die entsprechende Differential- 

 gleichung die lineare Form y" = Fix), die ebenfalls aus- 

 geschlossen worden ist. 



Satz. Gestattet daher eine niclitlineare Gleichung y" = F{wy) 

 eine infinitesimale Transformation, so besitzt diese Transfor- 

 mation jedenfalls die Form 



Xia>)p + iiXy + By + X^)q 



