446 Sophus Lie. 



und dabei ist X sicher von Null verschieden. Durch Einfüh- 

 rung von zweckmässigen Variahein ist unsere Transformation 

 reductibel auf die eine unter den beiden Formen 



p, p + yq 

 Die entsprechende Differentialgleichung besitzt im ersten Falle 

 die Form y" = F{y), im zweiten Falle die Form y" = y£l{e~'^y). 

 Es stellt sich nun die Frage nach allen nichtlinearen 

 Gleichungen y" = F die zwei oder noch mehrere infinitesimale 

 Transformationen gestatten. Alsdann wählen wir zwei inf. 

 Transformationen, die eine Gruppe bilden, und denken uns 

 dieselben wie immer möglich auf die Formen 



p + {B^y + X)q 

 ivp+ iCy + X^)q 



gebracht. Dabei muss Bq gleich Null sein, und X kann ohne 

 Beschränkung gleich Null gesetzt werden, woraus wieder folgt, 

 dass ^-^' = Oist. Hierdurch erhalten unsere infinitesimalen 

 Transformationen die Formen 



P, ocp + {\y + By + C)q 



Die entsprechende Gleichung y" = F{ij) wird bestimmt durch 

 die Kelation 



dF 



sie ist daher reductibel auf die eine unter den beiden cano- 

 nischen Formen 



y" = «/" und y" = e^. 



Besonders bemerkenswerth ist die Gleichung y" = y-^^ die 

 wie man leicht verificirt, drei infinitesimale Transformationen 

 gestattet. 



6. Sei jetzt vorgelegt eine (nichtlineare) Gleichung 

 2/" = F{æy) mit einer bekannten infinitesimalen Transformation 

 Xp + i^X'y + By + X^)q. 



