Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 447 



Wir ersetzen y" = F durch die aequivalente lineare partielle 

 Differentialgleichung 



'' dæ ^ dy dy' 



mit dem bekannten Multiplicator 1 und der bekannten infini- 

 tesimalen Transformation 



+ (By' - i X-y + 1 X"y + X,')^, 

 Jetzt ist 



und also besitzt die Differentialinvariante I den Werth 



1=25 = Const. 



so dass man nie eine wirkliche Losung durch Differentiation 

 bildet. Ist .5 = 0, so ist 1 Multiplicator des vollständigen 

 Systems J./=0, Bf = 0. Also ist die entsprechende totale 

 Differentialgleichung 



= (-1 X'y^+\ X"yy' + X^'y'-^k^'yF- X^ F) dx 

 + {XF^ \ X'y' - \X"y - X^) dy + (i X'y + Xg - Xy') dy'. 



wie man auch leicht verificirt, numittelbar integrabel, indem 

 der entsprechende Eulersche Integrabilitätsfaktor gleich 1 ist. 

 Das in dieser Weise durch Quadratur bestimmte, Integral 



- k^y"" + ^^'yy' + ^,y' + ^(.XF-^x"y - x,') dy 



-J(iX'yF-X,F)dx 



ist gleichzeitig eine Lösung von Äf=0, und also wird die 

 noch fehlende Lösung dieser Gleichung durch eine neue Qua- 

 dratur gefunden. 



