450 Sophus Lie. 



gehen die allgemeinste Transformation, vermöge deren jeder 

 Ausdruck Bkf die Form C^f annimmt ^). 

 Aus meinen Untersuchungen in Math. Ann. Bd. VIII fliessen 

 unmittelbar, wie ich längst hervorgehoben habe, die allgemei- 

 nen Criterien für die Aehnlichkeit durch Bertihrungstransfor- 

 mation von zwei beliebigen Gruppen von Berührungstrans- 

 formationen. 



In einer soeben erschienenen Arbeit von Herrn Killing 

 findet sich der folgende Satz ohne Beweis aufgestellt. 



»Zwei Raumformen für welche die in den Gleichungen« 

 »(6) auftretenden Constanten (d. h. meine Constante Ciks)« 

 »denselben Werth haben, können stetig so auf einand^*« 

 »abgebildet werden, dass diese Beziehung bei jeder Bewegung« 

 »der einen Raumform bestehen bleibt, wenn gleichzeitig die« 

 »andere in entsprechender Weise bewegt wird.« 



Der hiermit angedeutete Satz ist, wenn ich ihn richtig 

 verstehe, ein Corollar von meinem Satze I. 



Man führe nämlich, wie ich in meinen Untersuchungen 

 über DifFerentialinvarianten pflege, neben œ-^ . . . ooy gewisse 

 zugehörigen DifFerentialquotienten yæ') ein, indem man z. B 

 die Grösse Xy als Funktion von æ^ . .. a?v-i betrachtet; eben- 

 falls führe man neben y^ y^ gewisse zugehörigen Diffe- 

 rentialquotienten {y') und einigen weiteren Grössen y", die nicht 

 transformirt werden, ein. Werden dann die oo\, durch eine Gruppe 

 B^f transformirt, und ebenfals die y^ durch eine gleichzusam- 

 mengesetzte Gruppe (7k/ transformirt; dann werden bekannt- 

 lich die Gl-össen æ ce' und die Grössen y y' y" durch zwei gleich- 



1) Die zur Aehnlichkeit von zwei beliebigen Gruppen B^f und B'^f noth- 

 wendigen und hinreichenden Criterien sind nach meinen aelteren Unter- 

 suchungen die folgenden : Sind BJ . . Bnf unabhängig und bestehen dabei 

 die Relationen Bjx+^ = q)^^ B^ + . . . + gj^^ ßn, (ßi Bk) = Sciks ßs, 

 so muss es möglich sein, die ß'k derart zu wählen, dass ßj . . . Bn 

 unabhängig sind, während die Gleichungen ßn' + k = çj^' ß/ + ... 

 + (pij'jj ßn', (5i' ßk') = -^Ciks ßs' bestehen. Dabei dürfen die Gleichun- 

 gen m^i — fflfc'i '**<'^' contradictorisch sein. 



