8 Sophus Lie. 
Zu bemerken ist übrigens, dass die beiden Operationen 
2, die verlangt wurden, auf eine einzige Operation 2 reducirt 
werden können, indem die betreffenden simultane Systeme 
unabhängig sind und daher durch Einführung eines Para- 
meters auf ein einziges aequivalentes System redueirt werden 
können. In entsprechender Weise können die beiden Qua- - 
draturen, die P, und P, geben, auf eine einzige Quadratur 
reducirt werden. 
Hat eine Monge-Ampéresche Gleiehung nur eine Schaar 
Charakteristiken und besitzt sie dabei ein allgemeines inter- 
mediäres Integral « — /(v) = 0, so stehen die Grössen « und v 
bekanntlich in Involutions-Beziehungs, das heisst es ist 
[uv] = 0. 
Bezeichnen wir nun mit w eine von w und v unabhängige 
Lösung des Systems 
[uw]=0, [vw]= 0 
und mit &, und w, zwei arbiträre Punktionen von u, v und 
w, so bestimmt die Gleichung 
@,=%b(@;) 
immer ein intermediäres Integral. In diesem Falle giebt es 
also nicht, wie man zu sagen pflegt, nur ein intermediäres 
Integral, sondern es giebt unbegrenzt viele solche Integrale. 
Die Grössen u v und w sind die Lösungen eines voll- 
ständigen Systems, das man aufstellen kann, wenn die be- 
treffende Gleichung rt — s?+.... = 0 vorgelegt ist. Zur 
vollständigen Integration dieser Gleichung ist es nothwendig, 
alle Lösungen des besprochenen vollständigen Systems zu be-, 
stimmen. Man braucht daher in diesem Falle, indem man 
Mayers und meine neue Integrations-Theorien anwendet nur 
die Operationen 3, 2, 1. 
