164 Sophus Lie. 
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Ueber reelle Integralflåchen. 
Ich verlange nun insbesondere, dass unsere partielle 
Differential-Gleichung 2. O. reelle Integralflächen, die keine 
Ebenen sind, haben soll. | 
Es giebt ein sehr ausgedehnter Fall, in dem diese For- 
derung erfüllt ist. Bezeichne ich mit Auv die Richtungs- 
Cosinus einer Geraden und mit 
JAuv)=0 
die Gleichung, die unseren Linien-Complex bestimmt, so werde 
ich annehmen, dass f eine reelle Funktion der Grössen A, u, v 
ist. In diesem Falle werde ich zeigen, dass es reelle Integral- 
flächen mit arbiträren Funktion giebt.*) 
Betrachtet man A, u,7 als homogene Coordinaten eines 
Punkts der unendlich entfernten Ebene, so bestimmt die Glei- 
chung f=0 die ebene Curve ©. Ist C eine reelle Curve, so 
ist f eine reelle Funktion; dagegen kann f sehr gut eine 
reelle Funktion sein, ohne dass gleichzeitig C reel ist?) So 
z. B. bestimmt die Gleichung 
M+u+7?=0 
den imaginären Kugelkreis, dessen sämmtliche Punkte imagi- 
när sind; und doch giebt es in diesen Falle reelle Integral- 
flächen. Ebenso bestimmt 2. B. die Gleichung 
+ ut+74=0 
eine rein-imaginäre Curve; und doch hat die betreffende par- 
tielle Differential-Gleichung reelle Integralflächen. 
Ist nehmlich / eine reelle Funktion, so sind die Punkte 
der entsprechenden Curve C paarweise einander imaginär 
') Umgekehrt liesse sich zeigen, dass relle Integralflächen im Allgemeinen 
nur auftreten, wenn f eine reelle Funktion von A u v ist. 
2) Im Folgenden sehen wir von dem einfachen Falle, dass nicht allein f 
sondern auch 0 reel ist, weg. 
