168 Sophus Lie. 
Indem wir uns nun zur Betrachtung der reellen algebrai- 
schen Integralfiåchen wenden, beweisen wir zuerst, dass die 
Complex-Curven') einer solchen Fläche nie eine irreductible 
Schaar bilden. 
Sei in der That 
Z+EL y+ni z+röi 
die Coordinaten eines beliebigen Punkts einer Complex-Curve, 
die auf einer reellen Integralfläche gelegen ist. Alsdann ge- 
hört auch der Punkt 
x — Ei y—ni 2—6i (4) 
der Fläche an. Wenn der Punkt (3) eine Complex-Curve 
durchläuft, so beschreibt der Punkt (4) die conjugirte Com- 
plex-Curve. Setzen wir nun voraus, dass die beiden Schaaren 
Complex-Curven eine irreductible Schaar bilden, so geht die 
conjugirte Complex-Curve durch eine gewisse Translations- 
Bewegung in die ursprüngliche Curve wieder über. Man kann 
daher in diesem Falle solche Constanten 
arai b+ßi c+yi (5) 
wählen, dass der Punkt 
æ+a+ (ai y+b+(8—mi 
z+ce+(ly—0)i (6) 
wiederum der ursprünglichen Curve angehört. Also 
Bilden die beiden Schaaren Complex-Curven einer reellen 
Integralflåche eine irreductible Schaar, so ist es, wenn wir mit 
Ve DR Re OL 
die Coordinaten eines arbiträren Punkts einer Complex- Curve 
bezeichnen, immer möglich solche Constanten (5) zu wählen, dass 
1) Wenn ich hier und im Folgenden über die Complex-Curven einer Inte- 
gralflåche spreche, so verstehe ich darunter immer die Complex-Curven 
der beiden in $ 1 besprochenen Schaaren. 
