190 Sophus Lie. 
Falle auch 2, y, z rationale Funktionen von s sind, so wird 
jeder Punkt des Kugelkreises nur von einer Tangente unse- 
rer Curve getroffen. In diesem Falle ist somit M=1. 
Ist andererseits M= 1, so müssen a, y,z rationale Funk- 
tionen von s sind. Folglich (8) sind eine jede der Grössen 
a? F dF 
NG 
rationale Funktionen von s. Also 
Man erhält die allgemeinste Curve, die der Feie M=1 
entspricht, indem man in den Formeln (6) F(s) als eine ratio- 
nale Funktion von s nimmt.') 
Um jetzt alle Curven zu untersuchen, die der Hiypoittedes 
F gleich einer rationalen Funktionen von s entsprechen, be- 
merke ich zunächst, dass man, indem man statt s eine neue 
Hülf-Grösse 
as+ß 
yst+o 
einführt, immer erreichen kann, dass F's Nenner von ebenso- 
hohem Grade wie der Zåhler wird. Indem man darnach eine 
passende Translations-Bewegung auf die Curve ausführt, was 
darauf hinauskommt dass zu F eine Constante addirt wird, 
Man kann daher voraussetzen, dass F die Form 
kann man den Grad des Zåhlers um eine Einheit erniedrigen. 
k k k 
<q Ge en ee 
k 
(yy) F- 3 i ing | 
k=1 F(8— ax) (s — ay) 8 — ay 
besitzt. Der Einfachkeit wegen nehmen wir vorlaüfig q gleich 
1 an: 
1) In entsprechender Weise erkennt man unmittelbar, dass die Formeln 
(B) die allgemeinste algebraische Curve, deren Länge gleich Null ist, 
bestimmen, wenn F als eine algebraische Funktion gewählt wird. 
