Theorie des Pfaffschen Problems. 341 
durch Relationen verknüpft, so kann die Reduction noch wei- 
ter fortgesetzt werden. Hiermit ist das folgende fundamentale 
Theorem bewiesen. 
Theorem I. Der Ausdruck = Xaz, in dem die Xx 
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beliebige Funktionen von @,...%m bezeichnen, kann 
immer entweder die Form 
F df, +... +Fdf, wo n=m 
oder auch die Form 
dp, + 2, dp, +...+ Bide, wo nm —1<m 
erhalten, so zwar dass die in dem reducirten Aus- 
drucke eingehenden Grössen fi Fy. (oder px Dy.) von ein- 
ander unabhängig sind. 
Um die Sprache zu erleichtern bezeichne ich als eine 
Normalform des Ausdrucks = X dx eine jede Form desselben: 
3 Fi df, oder dø, +3 Dr dp: » 
deren Funktionen (fx Fi oder ox Ø;) von einander unabhän- 
gig sind. 
8 2. 
Die Funktionen-Zahl der Normalform ist die einzige 
Invariante. 
3. Um die folgenden Untersuchungen vorzubereiten, erle- 
dige ich zuerst das folgende Hiilf-Problem.*) | 
Problem: Bestimm das allgemeinste Gleichungs-System 
F, (ESS LED + Dale 0 2,=0../R=0 
vermöge dessen. der Ausdruck pidær+++++pndæn identisch 
verschwindet. 
1) Zu den Entwickelungen dieser Nummer vergleiche man Grassmans Aus- 
dehnungslehre (1861) p. 352. Auch im Folgenden ($ 3) habe ich die 
tiefen Untersuchungen von Grassman zu citiren. Sieh auch Math. Ann. 
Bd. IX, p. 250. 
