342 Sophus Lie. 
Die gesuchten Gleichungs-Systeme ordnen sich naturge- 
måss in zwei Categorien, solche nämlich die keine Relation 
zwischen den æ allein bestimmen, und solche die dies thun, 
zwischen deren Gleichungen sich also alle p eliminiren lassen. 
Ein System der ersten Arten bestimmt offenbar auch keine 
Relation zwischen den Differentialen dx. Soll aber der Aus- 
druck 3p dæ für alle Werthe der Grössen dæ verschwinden, 
so müssen alle p gleich Null sein. Daher enthält jedes Sy- 
stem der ersten Art die Gleichungen 
P1=0... pa=0 
und andererseits ist auch klar, dass es keine weiteren Glei- 
chungen enthalten darf, denn sonst liessen sich die p elimi- 
niren. 
Sodann wenden wir uns zu dem Falle, dass sich die p 
zwischen den Gleichungen des Systems eliminiren lassen. 
Die in dieser Weise gefundenen Relationen zwischen +, ...a,, 
deren Anzahl g sein mag, können immer hinsichtlich q unter 
den + etwa æ, %,....%, aufgelöst werden; hierdurch nehmen 
sie die Form an 
(3) @ = fx (@q+1+++%) (b= 1,2...9) 
und durch Differentiation findet man g Relationen avlen 
den dæ 
BE vn df, 
day = AK. Hae (ee 1, 200.00) 
welche den Ausdruck 3 pdz auf die Form 
= dfı dfa ar ee 
2 lp, dx; høg dæ; +. ++ + Pq dæ; - EP; dæ; 
redueiren. Hier sind alle zurückgebliebenen dæ von einander 
unabhängig, und daher müssen für i=9+1...mn folgende Re- 
lationen bestehen 
dre frå 
(4) Pi = a ‘+ Pa å + p; = 0. 
