Theorie des Pfaffschen Problems. 343 
Also enthält jedes Gleichungs-System welches 3 p dx =0 iden- 
tisch befriedigt, rn Gleichungen der Form (3) und (4). Umge- 
kehrt ist einleuchtend, dass diese Gleichungen an und für sich 
Zpdæ identisch verschwinden lassen. Enthält daher un- 
ser Gleichungs-System noch weitere Gleichungen, so sind die- 
selben nur noch der Beschranckung unterworfen mit dem Systeme 
(3) (4) algebraisch vereinbar zu sein. Hiermit ist der folgende 
Satz bewiesen. 
Satz III. Ist p, dx, +... +pn dæ, identisch gleich Null 
und sind dabei nicht alle p gleich Null, so sind die Grössen x 
und die Verhältnisse der p jedenfalls.durch n unabhängige Re- 
lationen verknüpft. 
4. Indem wir diesen Satz zugrundelegen, werden wir 
beweisen, dass die verschiedenen Normalformen eines vorge- 
legten Ausdrucks = Xda immer gleichviele Funktionen ent- 
halten. 
Sei zunächst 
Xda = 3 Fdf 
1 
3 Xde= 3 6 dø 
1 1 
zwei Normalformen von 3 Æ dx. Alsdann besteht die Glei- 
chung - 
3 Fdf — 25dp=0 
1 Jo 
und folglich sind nach dem vorangehenden Satze die Grössen 
fr Frp; 9; jedenfalls durch n + r Relationen verbunden. Wäre 
daher z. B. n>r, so beständen jedenfalls n—vr Relationen 
zwischen den Grössen f Fi, was ausgeschlossen ist. Folglich 
kann m nicht grösser und also auch nicht kleiner als r sein, 
so das r=n ist. 
Lass uns andererseits voraussetzen, dass 3 _Xdx zwei 
ungleichartige Normalformen 
