344 Sophus Lie. 
> Xdz -> Far 
3 Xdw=dø, +2 Dr dør 
besässe. Alsdann käme 
dpy+ 3 eds — = Fkdfx 0 
und folglich beständen jedenfalls n + r + 1 Relationen zwischen 
pr ©, f,F, Wäre nun r>n, so käme dureh Elimination der 
fr Fr jedenfalls eine Relation zwischen den ox. Wire 
dagegen r<n, so käme jedenfalls eine Relation zwischen 
den fy Fi. Wir erkennen somit, dass unsere Voraussetzung 
gar nicht eintreten kann. 
Sei endlich 
3 Xdz=dfy +3 Fadfı 
1 
3 Xdz=dø,+ 3 Odo, 
| 1 
zwei Normalformen von 3 Æ 4x. Alsdann ist. 
n T 
d(fo — Po) = Fi df, — 2 x dp, =0, 
und folglich sind die Gréssen 
Jo — Por Fk: Fr, Pk, Ox. 
jedenfalls durch n+7+1 Relationen verbunden. Wäre nun 
z.B. n>r, so käme durch {Elimination von den Grössen 
fo Po: Pk, Px jedenfalls eine Relation zwischen den fx Fr. 
Folglich kann mn nicht grösser und also auch nicht kleiner 
als > sein, so dass n=r ist. Dies giebt 
Theorem IL. Die verschiedenen Normalformen des 
Ausdrucks = X dx enthalten gleichviele Funktionen. 
Die Anzahl der in der Normalform eingehenden Funktio- 
nen ist somit eine charakteristische Eigenschaft des betreffen- 
den Pfaffschen Ausdrucks 3 X dx. 
