348 Sophus Lie. 
ff,.--fa Di. Du in allgemeinster Weise durch, die Glei- 
chungen 
(Pi Px) = (Pi Px) = (D: 9)=0 (Gj 9)=1 
[ pi] =0 [pG]=9; 
bestimmt. Die Gleichungen (i gx) = 0 allein bestimmen be- 
kanntlich eine solche Transformation. Hieraus. fliesst, dass 
p, eine arbiträre Funktion der fx F ist. 
Da ich an anderem Orte die Theorie der Berührungs- 
Transformationen ausführlich behandelt habe, wobei ich aller- 
dings die Theorie des Pfaffschen Problems als bekannt vor- 
aussetzte, beschråneke ich mich hier auf die Bemerkung, dass 
meine Untersuchungen über Berührungs-Transformationen durch 
eine schöne Note von Mayer von ihren Abhängigkeits-Verhält- 
nisse zum allgemeinen Pfaffschen Probleme befreit sind. 
§ 3. 
Wie viele Funktionen enthålt die Normalform eines 
vorgelegten Ausdrucks 3 X dz. 
Es stellt sich jetzt die Frage, wie man die Funktionen- 
Zahl der Normalform eines vorgelegten Ausdrucks bestimmen 
kann. Wir werden zeigen, dass diese Bestimmung immer 
durch ausführbare Operationen geleistet werden kann. Hierzu 
entwickeln wir zunächst zwei Hülf-Theorien. 
7. Lass mich voraussetzen, dass ich schon weiss, dass 
der vorgelegte Ausdruck 3 X da die Form 
1 
DEN En 
erhalten kann. Hierbei kann ich nach den Entwickelungen 
des ersten Paraphragen voraussetzen, dass 
M<m 
ist. Ich werde untersuchen ob eine noch weitere Reduction 
möglich ist, anders ausgesprochen ob 3 X dx die Form 
