352 Sophus Lie. 
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de où døyr 
Nachdem man in dieser Weise die Grösse D; bestimmt 
hat, findet man unmittelbar zuerst 
A= VY =D») 
und sodann durch Einsetzung die Grösse (ab...1), womit die 
verlangte Berechnung ausgeführt ist. 
9. Die Entwickelungen der beiden vorangehenden Num- 
mer giebt eine direkte Methode zur Bestimmung der Funktionen 
Zahl der Normalform eines vorgelegten Ausdrucks SX dæ. 
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Man weiss nemlich (Theorem 1) dass 3 Xdæ jedenfalls auf 
eine Form mit m Funktionen gebracht werden kann. Um 
nun zu entscheiden ob 3 X dæ eine Form mit nur m — 1 Funk- 
tionen erhalten kann, berechnet man den Ausdruck (1,2...m), 
wobei man, wenn m eine gerade Zahl ist, die Regeln der 
Nummer 7 anwendet, während man wenn m ungrade ist, die 
Regeln der Nummer 8 benutzt. Ist (72...m) gleich Null, so 
kann 3 X dx eine Form mit nur m— 1 Funktionen erhalten. 
Um in diesem Falle zu entscheiden, ob 3 X dæ eine Form 
mit nur m — 2 Funktionen erhalten kann, berechne man, in 
dem man mit a, 4,...4m die Zahlen 12...m in einer belie- 
bigen Beihenfolge genommem bezeichnet, alle Ausdrucke 
(a: 
Giebt es unter ihnen einige, die nicht identisch verschwinden, 
so enthält die Normalform m —1 Funktionen. Sind sie da- 
gegen sämmtlich Null, so enthält die Normalform höchstens 
m — 2 Funktionen. Um in diesem Falle zu entscheiden, ob 
1) Die Entwickelungen des Textes bestimmen nicht das Zeichen der Grös- 
sen fi. Um diese Bestimmung auszuführen, könnte man die Producte 
Ai £% berechnen. Man findet dass diese Producte als rationale Funk- 
tionen der Grössen ay sich ausdrücken. Es ist übrigens leicht zu erkennen, 
dass die 4; selbst rationale Funktionen der Grössen ars sind. 
