816 Sophus Lie 
2n 
b b d MA pep 
Py = 3 Bra, day=df + Pdf} +...+F af. 
Da nun die Grössen fP AR øk Fi F° nicht durch eine Re- 
n n 
lation verkniipft sein diirfen, indem sonst auch nicht die Grös- 
sen ff,...F,...F, unabhängig waren, so muss die Normal- 
form von P,, 2n — 1 Funktionen enthalten. Und es ist klar, 
dass die Bestimmung einer Normalform 
Ph = dp + 6, dp, +... 
von P;, die Integration von P,+1 nach sich zieht. Ersetzt 
man nehmlich in der letzten Gleichung b durch /,, so erhält 
man sogleich eine Normalform von Pu -+ı. 
Andererseits lehrten wir in der vorangehenden Nummer, 
P durch ausführbare Operationen auf einen aequivalenten 
Ausdruck P;,—1, deren Normalform ebenso 2n — 1 Funktionen 
enthält, zurückzuführen. 
Um Ph: auf ihre Normalform 
P,, 1=du+ U du, +... In _ıdm-ı 
zu reduciren verfährt man genau wie bei der Behandlung von 
Pix Man sucht eine beliebige Lösung des vollständigen 
Systems, dessen Lösungen u, ...un_1 U,... U,—1 sind, redu- 
eirt sodann P,,—1 auf einen Ausdruck Py—2, der seinerseits 
nach den Regeln der vorangehenden Nummer auf einen 
Ausdruck P,, 3 zurückgeführt wird u. s. w. Also 
Theorem VIII. Sei vorgelegt zur Integration ein 
(2n + q) gliedriger Ausdruck | 
Poy +g = X] dæ, SF å por Xon + à Å Lan +4 > 
dessen Normalform 2n+1 Funktionen enthält: Man 
reducirt zunächst Py4q durch ausführbare Opera- 
tionen auf einen aequivalenten Ausdruck Pyn+ı dessen 
Normalform 
Pn+ı=dp+P,dp,+...+ don 
ebenso 2n+1 Funktionen enthält; sodann sucht man 
