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Beweis der Gleichung X-? = o. 



/■=i 



Von H. VON Maxgoldt, 



Professor an der Technischen Hochsclmle zu Aachen. 



(Vorgelegt von Hru. Schwarz am 20. Mai [s. oben S. 607].) 



In Übereinstimmung mit der von Hrn. F. Merten.s' eingeführten Be- 

 zeichnung bedeutet fj.[k) im nachfolgenden eine Function des ganz- 

 zahligen positiven Argumentes h, -welche 



^ 1 ist für ^ = 1 , 



= 0, wenn k durch eine von 1 verschiedene Quadratzahl theil- 

 bar ist, 



^ — 1, wenn k aus einer ungeraden, und 



=^ 1, wenn k aus einer geraden Anzahl verschiedener Prim- 

 factoren zusammengesetzt ist. 

 Demgemäss sind die Anfangsglieder der in der Überschrift erwähnten 

 Reihe bei Fortlassung der A^erschwindenden Glieder 



1 1 II 11 1 111 



' ~ IT ' ~ T ' 5 ■ TT ■ ~ 7 ' Ti ' ' ~ 1 1 ' ~ iTi ' u ' 15' 



Sie umfasst alle Werthe, welche der Ausdruck -.^ für ganzzahlige 



positive Werthe von k annimmt, und zwar in derjenigen An- 

 ordnung, in welcher sie entstehen, wenn man für k der 

 Reihe nach alle Zahlen der natürlichen Zahlenreihe einsetzt. 



Es wird behauptet, dass diese Reihe convergire und die 

 Summe habe. 



Diese Behauptung selbst ist schon von L. Euler ausgesprochen 

 worden". Aber die Gründe, welche Euler dafür anführt, sind nicht 

 zureichend, weil ihm noch die Einsicht fehlte, dass die Entscheidung 

 der Frage, ob eine gegebene Reihe convergire, und welches ihre 

 Summe sei, unter gewissen Voraussetzungen nicht bloss davon alv 



' »Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie«, Journal f. d. r. u. a. 

 Mathematik, Bd. 77, 1874, S. 289. 



- »Introductio in analysin infinitonini". Toin.I. Laiisannae 1748, Cai^. XV, 

 Nr. 277. Exenipluin I. 



