886 Sitzung der phys.-inath. Classe v. 22. Juli. — INIittlieilung v. 20. Mai. 



liängt, welche Glieder überhaupt in der Reihe vorkommen, sondern 

 auch davon , wie die.se Glieder geordnet sind. 



Soviel ich w^eiss, ist ein strenger Beweis der EuLER'schen Be- 

 hauptung bisher noch nicht gelungen. Nachdem indessen durch die 

 werth vollen Ergebnisse, mit welchen die HH. Hadamard' und de laVallee- 

 PoussiN' die Theorie der RiEMANx'schen Function 'C,{s) bereichert haben, 

 die grössten Schwierigkeiten aus dem Wege geräumt sind, erweist 

 es sich als möglich, einen, wie ich glaube, einwandfreien Beweis zu 

 erbringen. Dies soll im nachfolgenden geschehen. 



Wenn »i eine ganze positive Zahl T)ezeiclinet und für d nach 

 einander alle Tlieiler von /// gesetzt werden , so ist immer 



^fx{d) = 0, 



mit einziger Ausnahme des Falles m = 1, in welchem ^w((f) = 1 wird. 

 Diese Grundeigenschaft der Function u ergibt sich durch ganz ein- 

 fache und elementare Überlegungen^ imd ist schon von A. F. Möbius 

 bewiesen w^orden*. Aus ihr folgt sofort, dass für jeden" nicht unter- 

 halb 1 gelegenen reellen Werth von /i und für jeden Werth des Ex- 

 ponenten r die Gleichung gilt 



(■) 24?-2i. 



'■ I. "Etüde sur las proprietes des fonctions entieres et en ])articulier d'iine fonction 

 consideree par Riemask» , Journal de IMatheniatiques pures et appliquees, 4<^"'^ Serie, 

 Tome 9, 1893, p. 171— 215. 



2. "Sur les zeros de la fonction ^(«) deRiEMAXN», Couiptes rendus, 122, 1896, 

 p. 1470-1473. 



j. ».Sur la distritjution des zeros de la fonction ^(.s) et ses consecjuences aritli- 

 nietiques", Bulletin de la societe niatheniatique de France, Tome 24, 1896. 



^ »Recherches analytiques sur la theorie des nombres premiers«, premiere j)artie, 

 Annales de la Societe scientifique de Bruxelles, t. XX, 2'" j)artie, 1896. 



^ Vergl. P. Bachmann, »Die analytische Zahlentheorie«, Leipzig 1894, S. 308-310. 



* »Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen«, Journal f. d. r. u. a. 

 Math., Bd. 9, 1832, S.ioB— III = Gesammelte Werke, Bd. 4, Leipzig 1887, S. 595 — 597. 



'" Aus Zweckmässigkeitsgründen, welche sich im nachfolgenden geltend machen, 

 wird die Zahl « absichtlicli nicht der Einschränkung unterworfen, ganzzahlig zu sein. 



Unter ^/(k) ist jedesmal, die .Summe aller Werthe f(k) zu verstehen, welche man 



A '1 



erhält, wenn man für k nacli einander alle nicht ausserhalb des Intervalls (l---n) lie- 

 genden iianzen Zahlen einsetzt. 



