VON Mangoldt: Beweis einer EuLER'schen Behniiptmiii'. 8o7 



Denn die linke Seite erhält dadurch, dass man nach Ausführung 

 der vorzunehmenden Multiplicationen jedesmal alle diejenigen Glieder 

 vereinigt, in welchen das Product /cA den gleichen Werth hat, die Form 



.=1 ' 



wo für d^, jedesmal nach einander alle Tlieiler von v zu setzen sind: 

 in Folge der erwähnten Grundeigenschaft der Function ix sind aber alle 

 Glieder der über v erstreckten Summe gleich Null, mit Ausnahme des 

 ersten, welches den Werth 1 hat. 



Bezeichnet man nun allgemein durch [x\ die grösste ganze in x 

 enthaltene Zahl, so erhält man aus (i) für r= die von Hrn. R. Lipschitz' 

 anffegebene Gleichung 



(2) 



X^'(^-) 



1, 



oder, wenn man zur Al)kürzuno' 



setzt, 





Da nun 



f^(l)/-, =r, = n-[)i] 

 und der absolute "Wertli der Summe aller übrigen in ^ w(yl')r^ enthaltenen 

 Glieder nicht grösser als [«]— 1 ist. so ergibt sich 



Durch Division mit n erhält man daher den folgenden 

 Hülfssatz I. Der absolute Werth der Summe 



ist niemals grösser als 1, welchen Werth auch die oliere Sum- 

 mengrenze n hal>en mös-e'. 



' Coinptes rendus, \'ol. 89, 1879, p. 949. 



- Dieser Satz ist auf dem gleichen Wege schon von Hrn. J. P. Gram .Tbgeieitet 

 worden in einer Preisscliritt »Undersögelser angaaende Maengden af Prinital under en 

 given Graense», Kopenhagen 1884, Memoires de l'Academie Royale de Copenhague, 

 6"'« Serie, Classe des Sciences. Vol. II. p. 197— 198. 



