VON Maxgoldt: Beweis einer EiLER'schen Behauptung. 8ö9 



Hülfssatz 2. Der absolute Werth des Unterschiedes 



'-^ h ^ k 

 kann niemals den Wertli 



3 + r 



übersteigen, einerlei welchen Werth die obere Summengrenze 

 n haben möge. 



2. 



Im nachfolgenden gebrauche ich zum Theil die gleichen Bezeich-^ 

 mnigen wie in meiner Arbeit mit dem Titel: Zu Riemann's Abhandlung 

 »Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse«'. 

 Insbesondere hat das Zeichen A(.r,?') die dort S. 279 angegebene Be- 

 deutung. 



Zur Vermeidung aller Weitläufigkeiten, welche etwa daraus ent- 

 stehen könnten, dass der Ausdruck A(;f,r) als Function von x ange- 

 sehen, an jeder vSprungstelle den Mittelwerth zwischen den unmittel- 

 bar benachbarten Werthen annimmt, möge die reelle, der Bedingung 

 n'^\ unterworfene Zahl n Itis auf weiteres auch noch der Einschrän- 

 kung unterworfen werden, nicht ganzzahlig zu sein. Dann folgt 

 aus der Erklärung der Function \{x,r), dass für jeden zulässigen 

 Werth von n und für jeden Werth von r die Gleichung gilt 



(4) i^'=-2l?'^(f" 



Zum Beweise hat man nur nöthig, jedes Glied der linken Seite, 

 in welchem k eine zusammengesetzte Zahl ist, durch Auflösung des 

 Factors Ik in die Summe der Logarithmen der Primfactoren von k 

 in eine Summe zu verwandeln. Wenn man sodann stets alle die- 

 jenigen Bestandtheile der linken Seite der Gleichung (4) vereinigt, 

 welche den Logarithmus ein und derselben Primzahl als Factor ent- 

 halten, so erscheint der Logarithmus Ip einer beliebigen unterhalb n 

 liegenden Primzahl p jedesmal multiplicirt mit dem Factor 



1 ^ }x{kp) 



Nun ist aber 



IJi[kp) ^ — u{k) , wenn k nicht durch p theil1)ar, dagegen 

 ^[kp))^i), wenn k durch p theilbar ist. 



' Joiu'nal f. d. r. \\. a. Mntiiematil^ . I)<l.ii4, 189^, S. 25S — 305- 



