VON Mangoldt: Beweis einer EuLER'schen Behauptung. 841 



Zu diesem Zwecke möge die Zahl r der Einschränkung unter- 

 worfen werden, dass sie sowohl von 1 als von sämmtlichen Null- 

 stellen der Function ^(s) verschieden sein soll. Dann erhält man aus 

 der letzten a. a. 0. S. 279 angegebenen Gleichung, indem man s = setzt, 



dr r — \ - ■^[- ii-{-\ r-\--ln] ■^{r — \)- + al 



Wenn man ferner der Gleichung 



C'= lim ji+-:._f.±+...+^_/,l 



durch welche die Constante C erklärt wird, die Form giht 



und diese Gleichung mit der voran^'ehenden Formel für - , 



=* '^ dr 



bindet, so erhält man 



= _L^_^/;,--c+T . /; . -V- 



nr-\) 



dr >•-! ' ' ^2n(r + 2n) -^ (r - ^f -\- a: 



Aus dieser Gleichung und der Gleichung (55) (a.a.O. S. 292) folgt 



\ — r dr -"^ {;• — -r) + a„ ■'•^r+in -«^ 



•.■=1 - i,=i .^i 



Nun ist aber, wie sich aus den Ijeiden letzten Gleichungen auf S. 284 

 der angeführten Abhandlung sofort .ergibt, 



W.ix,r) 



-^fc^-.-H^- 



{»• - »- )" + a: ''■-'- ". ' '' — 1 + 'J.' ' 



Setzt man dies in die vorangehende Formel ein, so erhält man nach 

 Multiplication mit x' 



^ ' \-r dr ■^ »• + 2y ■^ \r 



■a./i r — y + a..il 



Hiermit ist die oben als wünschenswerth liezeichnete Umformung der 

 Gleich vmg (55) ausgeführt. 



Aus der Gleichung (6) erhält man durch Differentiation in Bezug 

 auf r 



d , , X , dlUr) d'lUr) 



^" dr ' ' (!-»■)■ dr dr 



_y '"\ -^^ , f"'' ■ 



^^(r+H- f^\(r-^-ciJf (r-^ + c,,.ir\ 



