VON Mangoldt: Beweis einer ErLER'schen Behauptung. 845 



1 



11+ «V* 



V!,, ' .„.+ ,. ' .,.\ = M 



gesetzt wird, kleiner als 



also kleiner als 

 sobald 



oder 





-1/ , , 



1-r] 



ist. 



Nachdem dies festgestellt, ergibt sich leicht, dass das vierte Glied 

 der rechten Seite der Gleichung (9) wirklich die oben angegebene Eigen- 

 schaft besitzt. Unter Berücksichtigung dieses Unistandes und des von 

 den drei ersten Gliedern Erw<ähnten folgt aus (9) nach Division durch ^n 



Da die hier auf der linken Seite unter dem Zeichen lim stehende 

 Function A'on 7i sich stetig ändert, wenn n stetig zu- oder abnehmend 

 durch einen ganzzahligen Werth hindurchgeht, kann jetzt die Ein- 

 schränkung, dass n ganzzahlige Werthe niclit annehmen solle, wieder 

 aufgehoben werden. 



Durch Anwendung eines bekannten von G. Lejeune Dikichlet an- 

 gegebenen Kunstgriffs erhält man 



1 ^imm - 1 ^m-v- ^4 '^(^) ^' '^(^^ ( 



i-=i 





Da nun 



^'^''-''^^''==Uilny+''^''-'^n==ln+^!i^ (0<.<1) 



In /n \ n + ^ \ In n -\-\ 



ist. luid da der zweite Theil der rechten Seite bei unbegrenzt wach- 

 sendem n verschwindet, so kann man der Gleichung (11) die Form 

 geben 



(12) Hin !;|-iK'(A: + l)y-(/A-r!V-''*^j = 0. 



Nun ist aber nacli dem TAYLOR'schen Lehrsatz 



