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Zur Lehre von den unentwickelten Functionen. 



Von 11. A. Schwarz. 



Als Grundlno'c der Lehre von den unentwickelten Functionen können 

 — liir den allgeuieinen Fall, in -weleheni ni Veränderliclie dureli ;// (Jlei- 

 chungen als unentwickelte Functionen von n Veränderlichen erklärt 

 werden — folgende Betrachtiuigen tlienen. 

 I . Es sollen 



//,„ für m = 1 , 2 , ■ ■ • )" 

 , und o;,, fiir ii = 1.2, ■ • » 



■)n + )i stetig veränderliclie reelle Grössen bezeichnen, welche zunächst 

 als von einander unabhängig angenommen werden sollen. 



Statt der ausführlicheren Bezeichnung (y,,!/., ■■■ >/„, ; J", , -i'. , ■ ■ ■;<■„) soll 

 im Folgenden der Kürze wegen {?/„, : .rj gesetzt werden. 



Es wird vorausgesetzt, dass die Grössen y„,;x^ alle Systeme von 

 "VVerthen annehmen können, welche einer gewissen Umgebung eines 

 speciellen Werthsystemes angehören. 



"Wird der Einfachheit wegen das System der Werthe »/___ = ; .r = 

 zu diesem speciellen Werthsysteme gewählt, so kann die Umgebung 

 desselben als die Gesammtheit aller Werthsysteme erklärt werden, für 

 welche die Ungleichheitsbedingungen | y^J < (^' , | ;i,; | < ^' erfüllt sind, 

 wobei S' eine passend gewählte positive Grösse bezeichnet. 



Für dieses Gebiet seien m reelle, stetige, eindeutige Functionen 

 /. , für X = l , 2 , • ■• )ii . der ni + n Argumente j/,„ ; a; , 



MiL ■•■>'.) 

 mit folgenden Festsetzungen erklärt: 



I. Wenn allen m + n Argumenten »/,„ ; .i; gleichzeitig der Werth 

 beigelegt wird, erhält jede der /» Functionen^ ebenfalls den Werth 0. 



II. Jede der ni Functionen /] besitzt innerhalb des betrachteten 

 Gebietes in Bezug auf jede der Veränderlichen ?/__ (ju = 1 . 2 , • • • nt) eine 

 partielle Ableitiuig erster Ordnung 



