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Über die Darstellung der endlichen Gruppen 

 durch lineare Substitutionen. 



Von G. Fkobenius. 



In meiner Arbeit JJber die Primfactorrn der Griippe?i(ktcnnmant('{Sitzungs- 

 bericlite 1896; im Folgenden mit Pi: eitirt) habe ich jeder endliclicn 

 Gruppe § d*?!' Ordnung h eine Matrix des Grades h zugeordnet, deren 

 Elemente von h Variabelen ablicängen. Ihre Wichtigkeit beruht auf dem 

 Zusammenhange, worin sie selbst und die Primfactoren ihrer Determi- 

 nante mit den linearen .Substitutionen stehen, durcli die sich die 

 Gruppe i3 "ntl ^^i"? ün" isomorplien Gruppen darstellen lassen. Aus jeder 

 solclien Darstellung kann man eine zur Gruppe ^ gehörige Matrix 

 ableiten, deren Determinante in einer Potenz der Gruppendeterminante 

 enthalten ist (§ 2). Ist die Determinante unzerlegbar, also einem Prim- 

 factor der Gruppendeterminante gleich, so nenne ich die Darstellung 

 eine primitive. Umgekehrt entspricht jedem Primfactor /"■" Grades der 

 Gruppendeterminante eine, und, abgesehen von der Wahl der Varia- 

 belen, nur eine primitive Darstellung der Ciruppe durch Substitutionen 

 von /Variabelen (§ 4). 



Die Gruppenmatrix kann in eine ähnliche Matrix transfornürt wer- 

 den, die in Theilmatrizen zerfällt. Benutzt man dabei allein die k 

 Gruppencharaktere, so kann man sie in k Matrizen zerlegen, deren 

 jede die /" Potenz einer Primfunction 4> des /'™ Grades ziu- Determi- 

 nante hat (vi 3). Benutzt man aber höhere Irrationalitäten, so kann 

 man sie in i, /' Matrizen zerlegen, deren jede eine Primfunction 4> selbst 

 zur Determinante hat (§ 5). Mit Hülfe einiger merkwürdigen Sätze über 

 Determinanten ?^'"' Grades, deren Elemente n- unabhängige Variabele sind 

 (§ 7), zeige ich dann: man kann die Transformation so einrichten, dass 

 je /Theilmatrizen , deren Determinanten demselben Primfactor/'"" Grades 

 * gleich sind, einander identisch gleich sind. Dann sind die Elemente 

 aller Theilmatrizen zusanmien ^f- = fi von einander unabhängige Varia- 

 bele. Aus einer solchen Theilmatrix, deren Determinante $ ist, er- 

 geben sich h lineare Sidistitutionen , die eine mit V» isomor])he Gni])pe 



