FnoiiKNU's: Darstellung der Gi'iippcn durcli lineare Suljstitiitionen. 995 



Iiildeii. Der Isomorphismus kann auch ein meroedrischer sein. Dies 

 liiingt von einer besonderen Beziehung ab, worin der Charakter x der 

 (iruppe ö, welcher der Primfunction <1> entspricht, zu einer invarianten 

 Untergriippe von § stehen kann (§ i). Die primitiven Darstellungen 

 einer Gruppe durch lineare Substitutionen werfen ein neues Licht auf 

 die Bedeutung der Relationen, aus denen die Charaktere der Gruppe 

 und damit die Coefficienten der Primfactoren der Gruppendeterniinante 

 berechnet werden (§6). Die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeit habe 

 ich Dedekind, dem ich die Anregung zu diesen Untersuchungen ver- 

 danke, im April dieses Jahres mitgetheilt. 



§1- 

 Unter den Charakteren einer Gruppe S> ninmit der Hauptcharakter, 

 dessen Werthe alle gleich 1 sind, eine bevorzugte Stellung ein. Ist 

 i3 zusammengesetzt, und ist ® eine invariante Untergruppe von ö . so 

 giebt es ferner gewisse Charaktere von jr»? tli^' bi Bezug auf ® ein 

 l)esonderes Verhalten zeigen. Ein solcher Charakter hat nämlich für 

 je zwei Elemente von Q, die mod. ® aequivalent sind, denselben Werth. 



Icli sage daher, er yehüir zur Gruppe '^ auf Griuid des Satzes: 



Ist % eine invariante Untergruppe der Gruppe ^x -"^o ist jeder ( 'hurakter 



von -TiT auch ein Charakter von <rS. 



Dies ist so zu verstehen: Bilden A.B.C. ■ ein vollständiges 

 Restsystem von § (mod.®), .so ist 



Dann können die Complexe J.® = ®A, B% = ®B . ■■■ als die Elemente 



der Grui^pe ' aufgefasst werden. .Sei x// ein Charakter dieser Gruppe, 



und ^'(yl®) sein Werth für das Element A®. Jedes Element R der 

 Gruppe 5 gehört einem und nur einem dieser Complexe an. Für 

 alle Elemente R des Complexes A® sei yj(R) = \^(A®). Die so defi- 

 nirten h Grössen yj{R) bilden einen Charakter von §. Sei umgekehrt 

 %{R) ein Charakter von S^, der den gleichen Wertli hat für je zwei 

 Elemente von Ö, die mod. ® aequivalent sind. Setzt man dann für 

 jedes Element R von ^, das aequivalent A (mod.®) ist, also dem 

 Complexe A® angehört, -^(A®) = x(-ß), so ist \!y ein Charakter von 



-^ . Die beiden entsprechenden Charaktere haben denselben Grad 



Geliört der Cliarakter y, zu der Gru])pe ' , so 2,'ehört er auch zu -,'.,, 

 wo ®' eine in ® enthaltene invariante Untergruppe von !Ö i'^t. 



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