Fkobenius: Darstellung (1(M- Griip]»'!! durch lineare Snlistitiitionen. 99/ 



die G leiehung 



Daher ist %{li) ein Charakter von i^- 



Umgekehrt sei %(-R) ein Charakter v^on §, und sei stets %(Ä) = %('S'), 

 "wenn Ro^S (mod. ®) ist. Dann erkennt man auf demselben Wege, dass 



■d^iBM) = %(R) ein Charakter von % ist. 



Der Hauptcharakter gehört zu der Gruppe ~, die Charaktere 



ersten Grades zu der eommutativen Gruppe -^-, falls ® die Commu- 



tatorgruppe von § ist. 



Durchläuft G die Elemente der Gruppe ®, so sei 



(5-) 2. r^,, = «/«„• 



Dann ist unter den obigen Voraussetzimgen (vergl. Pr. § 8) 



Der Rang der Matrix (^pq-i) ist gleich /^ Ist *(a:) der Primfactor 

 der Gruppendeterminante @(x) von §5 der dem Charakter % entspricht, 

 so ist jede Unterdeterminante des Grades /" von jener Matrix bis auf 

 einen constanten Factor gleich ^{a-}'. Ist *(y) der Primfactor der Grup- 

 pendeterminante H(^) von ' , der dem Charakter -vi/ entspricht, so 



ist jede Unterdeterminante des Grades /'" von der Matrix >Ipq-i@ gleich 

 *(_(/)-^. Nun ist g^^i = vj^g, und mithin ist unter der Voraussetzung 

 (5.) *(x) = *(j/). Da @(x) und H(?/) die Factoren ^{x) und * (?/) genau 

 in der /"" Potenz enthalten, so ist Q(x) durch H(^) theilbar. und der 

 Quotient ist zu H{?/) theilerfremd (vergl. Pr. § 2). 



§2. 

 Eine endliche Anzahl linearer Substitutionen 



(A) J-„ = ''«i,yi + o„3_y2 H !-"„„//„. (a= 1.2, ...n) 



{B ) x„ = fj„r yi + b„.,y,-\ (- />,,„ y„ . 



deren Determinanten von Null verschieden sind, bilden eine (jruppe 

 §', wenn die aus irgend zweien von ihnen, (^4) und {B), zusammenge- 

 setzte Substitution (C) = (A)(B) ebenfalls unter ihnen enthalten ist. 

 Die Coefficienten von {€) sind 



Oaü = «ra f>lS + «ul IhI^ h ««« f>nl ■ 



