998 Sitzung der physikalisch -inathematischen Classe vom 18. November. 



Man kann aucli nach dem Vorgange von Gauss von der Bezeichnung 

 der Variabelen ganz absehen und unter (A), (B), (C), ■■■ die Matrizen n"" 

 Grades verstehen, die von den Coefficientensystemen daß , Ki , ''r,ii : " ' 

 gebildet werden. 



Sei § eine abstracte Gruppe, A , B, C, ■ ihre Elemente. Ordnet 

 man dem Elemente A die Matrix {A). dem Elemente B die Matrix (5), 

 u. s.w. zu, so sei die Gruppe §' der Gruppe § isomorph, d. h. es 

 sei (A)(B) = (AB). Dann sage ich, dass die Substitutionen oder die 

 Matrizen (A), (B) , (C) , ■ ■ ■ die Gruppe JÖ rJarstelkn. Der Isomorphis- 

 mus kann auch ein meroedrischer sein. Dann ist §' einer Gruppe ''r 



holoedrisch isomorph, wo (!>) eine gewisse invariante Untergruppe von 

 JÖ ist, gebildet von den Elementen von ^, denen das Hauptelement 

 (E) von §' entspricht. Diese Substitution (E) entspricht dem Haui)t- 

 elemente E von g». Da E" = E ist, so ist auch {E)- = {E). Mithin 

 ist (E) die identische Substitution, da keine andere Substitution von 

 niclit verschwindender Determinante dieser Bedingung genügt. 



Ist (P) irgend eine Matrix n'"" Grades von nicht verschwindender 

 Determinante, so stellen auch die Matrizen (Py'{A)(P), (P)-'{B)(P), ■•• 

 die Gruppe § dar. Die entsprechenden Substitutionen gehen aus den 

 ursprünglichen hervor, indem jedes System von ?« Variabelen .r,, ■■■ a"„: 

 I/i^'^y,.'- ■■■ der Substitution (P) unterworfen wird. Zwei solche Dar- 

 stpllun(jen von § bezeichne ich als acquicalent. Alle Darstelhuigen , die 

 einer gegebenen aequivalent sind, l>ilden eine Classe aequivalenter Dar- 

 stellungen von §• 



Den A Elementen A,B,C,-- von ^3 ordne ich Ji unab]iängig(> 

 Variabele x^,Xß,Xc,--- zu, und ich setze dann aus den Matrizen 

 [A),(B),[C), ■■■ die Matrix 



[A)x^ + [B)x^ + ((;)..,,+ • ■ . = ^{li)x^ 



zusammen, deren Elemente lineare Functionen der unabhängigen Va- 

 riabelen sind. Jede auf diese Art einer Darstellumj von ö entsprecJiende 

 Matrix nenne ich eine zur Gruppe i^ [jehöriye Matrix. 



Sei y , ij , 1/ ,, ■■■ ein zweites System von h unabhängigen Varia- 

 belen, und sei (Pr. § i) 



(I.) -r=--^'/,','/.v iRS=T) 



Dann ist das Product der beiden Matrizen 



(2.) (S(Ä),r,,)(2(,S)y,) = %{RS).T^y, = ^{T)c.,.. 



Umgekehrt charakterisirt diese Eigenscliaft die Matrix i,(/?).r,. als 

 eine zur Gruppe ^ gehörige Matrix. Eine solche ist daher z. B. die 

 Gruppenmatrix (.f,,,^_,). Ist nun die Determinante |2(7?).r;s| ^ F(.v), so 



