Frobknii's: narstelluns;- der Gruppen durcli lineare Sulistitutionen. 9!H) 



ist F{x)F{y) = F(z). Nach Pr. § i folgt daraus, dass F{.r) in piner 

 Potenz der Gruppendeterminante 



©(■'•) = |.<:^r^_, I = *-V-^V'^" • • • 



aufgeht, also ein Product von Potenzen der Primfactoren <t>, «I»'. <l>", ■ • ■ 

 von ist 



(3.) lil/O^^I = *'*"'*'""•••, 



deren Exponenten s,s',s",--- auch zum Theil Null sein können. 



Ist 4> ein Primfactor /""' Grades von 0, so ist genau durch die 

 /"■ Potenz von 4» theill)ar. Nach Pi'. § 5 ist die Unterdeterminante 

 (Ä— 1)'"' Grades von 0, die dem Elemente Xpq-, complementär ist, gleich 



-7- . Mithin enthält der grösste gemeinsame Divisor aller Unter- 



determinanten (Ä-l)"" Grades von den Primfactor <i> genau in der 

 (/-l)''" Potenz. Nach den bekannten Eigenschaften der Elementar- 

 tlieiler einer Determinante enthält daher der grösste gemeinsame Divisor 

 aller Unterdeterminanten (h-/i/)""' Grades von den Factor $ genau in 

 der [f-nif" Potenz (iti </), und die Unt(>rdeterminanten (ä-/)"" Grades 

 von sind nicht alle durch * theilbar. Die charakteristische Detei-- 

 minante @{x—U£) der Gruppenmatrix hat demnach, als Function von u, 

 lauter lineare Elementartheiler, und falls man für n eine Wurzel der 

 Gleichung ^{x-iis) = setzt, hat jene Determinante den Rang h-f. 



Setzt man in der Formel (i.) y ,,. = , — r^- — , so wird z,,^ —,- s„. 



also weil '^{R:)e„ z= {E) ist, 



(4-) (^(^)-.){^('%s.) = ;j^(i^)- 



Nun sind die Elementartheiler der Determinante der letzteren Matrix, 

 die gleich Potenzen von $ sind, alle gleich der ersten Potenz von <!•. 

 Auf Grund von (4.) sind aber diese Elementartheiler durch die ent- 

 sprechenden von I 5 {R)X;i I theilbar ( Über die Ekiiientartheiler der Determl- 

 nanten, Satz YK, Sitzungsberichte 1894). Mithin sind auch die Elementar- 

 theiler der Determinante |2a;/((i2)|, die Potenzen von $ sind, alle 

 gleich der ersten Potenz von <I>. und ihre Anzahl ist gleich s. Ersetzt 

 man Xji durch Xj^—ueji, so erkennt man, dass die charakteristische 

 Determinante jener Matrix \{XX;i{R))—ii(E)\ lauter lineare Elementar- 

 theiler hat. 



^ 3- 

 Zerfällt eine zur Gruppe .s3 gehörige Matrix in Theilmatrizen, so 

 ist nach Formel (2.) § 2 jede einzelne von ihnen auch eine zur Gruppe 

 gehörige Matrix. Das Product der Determinanten der Theilmatrizen 



