1000 Sitzung der physikalisch -niathematisclien Classe vom 18. November. 



i.st gleich der Determinante der ganzen Matrix. Wie ich zeigen werde, 

 kann man eine der Gruppenmatrix aequivalente Matrix finden, die in 

 ü/ Theilmatrizen zerfällt. Ihre Determinanten sind den S/ Primfactoren 

 von gleich. Weiter lässt sich die Zerlegung der Gruppenmatrix im- 

 niöglich treihen. Ehe ich al)er zur Darstellung dieser Transformation 

 ühergelie , will ich zunächst eine andere einfachere durchführen . bei 

 der die Determinante jeder Theilmatrix gleich der/'"' Potenz eines Prim- 

 factors /"■" Grades * ist. Mithin haben die einzelnen Theilmatrizen lauter 

 verschiedene Determinanten , von denen je zwei theilerfremd sind. Um 

 diese Zerlegung durchzuführen, reicht die Kenntniss der Charaktere aus. 

 Sei * ein Primfactor/'"" Grades von 0, und sei % der entsprechende 

 Charakter. Dann hat die Matrix A'"' Grades (%(PQ"')) den Rang r=f, 

 und es giebt darin eine von Null verschiedene Hauptunterdeterminante 

 r'"' Grades (Pr. §ii). Eine solche möge erhalten wex-den, indem man 

 für P und Q die r Elemente A-^, A.^. ■■■ A^ setzt. Sei -J/ ein von </> 

 verschiedener Charakter, .s der Rang der Matrix {■J/{PQ^^)), und es 

 möge darin eine von Null verschiedene Hauptunterdeterminante .s''" 

 Grades erhalten werden , indem man P und Q gleich P, . B„, ■ B, 

 setzt. Diese s Elemente können auch ganz oder zumTheil mit ^i, ^42,- ••^, 

 übereinstimmen. Trifft man eine solche Bestimmung für jeden der /r 

 Charaktere von S^, so ist die Summe der h Zahlen 



)• + «+■••= ir = i/' = ^'- 

 Nun sei M die Matrix 7«*™ Grades, deren /« Zeilen aus der Zeile 



X(P47'), ... x(/M7'),^(P5r'), ••• 4^(Pß,r'), •■• 

 erlialten werden, indem man für P die li Elemente von i3 setzt. Ferner 

 sei L' die Matrix, deren Zeilen in analoger Weise aus 



hervorgehen. Vertauscht man in L' Zeilen und Spalten, so erhält man 

 die conjugirte Matrix L. Ich bilde nun die componirte Matrix LM. 

 Sind et und /3 zwei der Indices 1 , 2 , • • • r, so ist darin das /S" Element 

 der OL*'" Zeile 



Die aus diesen r'^ Elementen gebildete Determinante r*" Grades ist nach 

 Voraussetzung von Null verschieden. Ist ferner ci einer der Indices 

 1 . 2 , • • • r und /S einer der Indices 1 . 2 , • ■ ■ *-, so ist das {r -[- [oY" Element 

 <lcr a'"' Zeile 



'^_x[AJi'')^'(liB^') = 0. 



Folglich zerföllt die Matrix LAl in /•Theilmatrizen. und ihre Deter- 

 minante ist 



