Frobeniis: Darstelliint;' der Gi'iippen iIuitIi liiirare Snbstitutioiien. 1001 



also von Null verschieden. Mitliin sind die Determinanten |/,| uud 

 1 31 1 beide von Null versclüeden. 



Nun sei .Y die Gruppenmatrix (.i'/y*-') und Y = LXM. Sind ^ 

 und ,3 zwei der Zahlen 1.2, • -• /•, so ist darin das [o*' Element der 

 a"" Zeile 



|,^,X(--l„«-')-^A..s-. x(S^i')- 



Weil aber y^{PQ) = %(QP) ist, so sind die beiden Matrizen [a-pQ^t) und 

 (7j(-PQ~')) u^it einander vertauschbar (Pr. § 6), und jene Summe ist 

 gleicli 



Ist u eine der Zahlen 1,2, • ■ ■ r, und ,Q eine der Zahlen 1,2, • ■■ s. so 

 ist das (r+iof Element der a.*'" Zeile 



R.S ' A'. N 13 



Folglich zerfällt F in k Theilinatvizen, deren erste von den 'r Elementen 



gebildet wird. 



In dieser Summe ist x,, mit der Matrix 



-. = (}xM..,,) 



(^.e = i.2....o 



multiplicirt. deren Determinante von Null verschieden ist. Ebenso sei 



u. s.w. Aus diesen Matrizen der Grade r.s, ■■■ bilde man die Matrix 



iVi ■■■ 

 N, • ■ • \^^ 

 iV3 ■■■ 



des Grades h; dann zerföllt auch YN~^ = Z in /• Theilmatrizen , deren 

 erste ist 



Darin ist x^ mit der Hauptmati'ix nndtiplieirt. Vergleicht man also in 

 der Gleichung LXMN~^ = Z die mit .r,; multiplieirten Matrizen, so erhält 

 man LMN~^ =■ E, und mithin ist 



(2.) LXL-' = Z 



