1002 Sitzung der physikalisch-inatheiiiatischen Classe vom 18. November. 



eine mit X aequivalente Matrix. Daher gehört Z und jede Theilmatrix 



von Z, wie (i.), zur Grupjie i3- Nach Pr. § ii ist die Determinante 



von { I .) gleich '"¥■', wo t der zu $ conjugirte Primfactor von ist. 



Ist @ eine invariante Untergruppe von §> gehört der Charakter % 



zur Gruppe %*- , und ist die Matrix (i.) gleich X{R)Xj;, .so ist (i?) = (S), 



wenn RooS (mod. ®) ist. Daher stellen die Matrizen (^-1) , {B) , (C) , • • ■ die 



Gruppe ^ dar. 



Die obige Umformung lässt sich in derselben Weise ohne Anwen- 

 dung neuer Hülfsniittel für eine beliebige zur Gruppe gehörige Matrix 

 durchführen. Auch eine solche kann, wenn ihre Determinante (3.) §2 

 durch verschiedene Primfactoren der Gruppendeterminante theilbar ist, 

 allein mit Benutzung der Charaktere in eine aequivalente zerfallende 

 Matrix transformirt werden, deren einzelne Tlieile die Determinanten 

 $~ , <^'' , ■ ■ ■ lia1)en. 



§4- 

 Ich wende mich nun zu der im Anfang des vorigen Paragraphen be- 

 sprochenen vollständigen Zerlegung der Gruppenmatrix. Ihre charak- 

 teristische Determinante 0(.(;-//£) hat nur einfache Elementartheiler und 

 hat daher für ehie Wurzel 7.1 der Gleichung '^(x-iis) = den Rang k-f. 

 Ich setze nun für die Variabelen Xj^ solche Constanten kj^, dass die Glei- 

 cliung ^(k- ue) = eine einfache Wurzel p hat, für die keine der Func- 

 tionen <i'>'(k-ije) , ^"{k-iiE), ■■■ verschwindet. Dann hat auch die Matrix 

 {kpQ-x-pSpf^-,) den Rang h-f. Folglich haben die A linearen Gleichungen 



(I.) ^k, 



, f.. =^ oa. 



Q 



/unablicängige Lösungen n',^ . «,". • ■ • a^,p. Aus ihnen lässt sich jede andere 

 Lösung zusammensetzen . indem man sie mit gewissen Factoren multi- 

 plicirt vuid dann addirt. Ersetzt man P und Q durch PTt^ und QR^\ 

 so wird 



und folglich ist. wenn .c, . .Ci. . .r,.. ■ • • unabhängige Variabele sind, 



Mithin ist auch o,_, -^ Zc/jjl.-i.iV; eine Lösung der Gleichungen (i.) Dem- 

 nach giebt es solche Factoren x.^^, ■■■ d\f, dass 



(2.) ^ <.-.-^-A. = :^ •'•.,.4'- (..>.= 1,2,.../) 



Die Factoren a\; sind durch diese Bedingungen vollständig be- 

 stimmt und sind folglich lineare Functionen der Variabelen .r^^. Die 



