Frobentus: Darstellung der Gruppen dm'ch lineare Substitutionen. lOOo 



SO erhaltenen / neuen Lösungen der Gleichungen (i.) sind linear un- 

 abhängig oder nicht, je nachdem die Determinante/''"" Grades |.i\,>| 

 von Null verschieden ist oder nicht. Da x^, = f^> ist für .)■;; = e^^, so 

 kann jene Determinante nicht identisch verschwinden. 



Geht x^y^ in y^^ oder in c^^ über, wenn man die Variabelen x,f 

 dtirch andere Variabele ///,. oder c„ ersetzt, so ist auch 



also unter der Voraussetzung (i.), § 

 und mithin 



■>? - „(") -"v ,,(«1 ~ V ,. „ „(") 



7 ^.„ "q — 7 '''Pq-' -Q — ,7^ ■''.). .'/;,. "(^ 



Daher ist (.f^,) eine zu § gehörige Matrix /'"" Grades, und mithin 

 ist ihre Determinante 



Ist % der Charakter, welcher der Primfunction 4> ents})rieht, und 



setzt man -,. 7j(-R~') = ("V;, so ist nach Pr. ij 8 



*(c)=l. <i>'(e) = 0, ■•■, ^(c' -((=) = (!-?<)/, <l>'(e-Ms) = (-m)^',---, 



wo 4>' irgend eine von * verschiedene Primfunction des Grades /' ist. 

 Sind p,p',p",--- die /'Wurzeln der Gleichung ^{k-us) ^ 0, so sind 

 nach Pr. §6 f-A,p'-'A,p"-X,--- die der Gleichung *(Z:-?vC-M£) = 0. 

 Ist also A eine von 0, p' — p, p" — p, ■■• verschiedene Con.stante, so ist 

 ^(k — AC—ce) von Null verschieden. Ferner ist ^'(k — Xc — ps) = ^'(k — ps) 

 von Null verschieden, und daher kann die Determinante &(k — Xc — ps) 

 nicht verschwinden. 



Für Xji ^ Cjt verschwindet die Determinante | .c^, | nicht. Denn 

 sonst wären die /Lösimgen 



^ CT.'"' (• fx = 1,2,--- /■) 



■^"'PQ-' Q ^ --> .M 



nicht linear unabhängig. Man könnte also aus ihnen eine Lösiuig 

 ^apQ-iC(^ = zusammensetzen, worin die Grössen Oj^ den Gleichungen 



(i.) genügen und nicht alle Null sind. Da Cp^^^c^j, ist, so sind die 

 Matrizen CpQ-, und r^,^-, vertauschbar, und mithin ist auch XCpq^iCtQ = 0. 



Daher wäre auch 



7(/'7'v--^Sr,-.-P^/.^-.)«r^ = 



0. 



Da aber die Determinante dieser /( Gleichungen von Null verschieden ist, 

 so können ihnen nur die Wertlie rin = genüs'en. 



