1004 Sitzung der physikalisch- iii;ifii(Miiati.sclien Ciasse vom 18. November. 



Das Product 4>(cy' $'(r)' <l>"(f'y • ■ • kann aber nur dann Aon Null 

 verschieden sein, wenn s' = s" = ■■■ =^ ist. Da | .r^^ | vom Grade /" 

 ist, so ist folglich 



(3.) l-^"'-] = *(•"»)• I -P«/. — " ^x>. I = ^{äP — ns). 



Nun habe ich P/". § 11 gezeigt, dass sich $(.r) durch/", aber nicht 

 durch weniger lineare Verbindungen der Variabelen Xj. darstellen lässt. 

 Mithin sind die /'" linearen Functionen .r^, der h Varial>elen .v„ von ein- 

 ander unabhängig. 



Diesen merkwüi'digen Satz, dass es eine zur Gruppe § gehörige 

 Matrix giebt, deren /" Elemente unabhängige Variabele sind, hat auch 

 MoLiEN gefunden in seiner ausgezeichneten Arbeit über Systeme höherer 

 co)nplexer Zahlen (Math. Ann. Bd. 41, S.124), auf die mich Study vor 

 kurzem aufmerksam gemacht hat. In einer weiteren Arbeit Eine Be- 

 merkumj zur Theorie der homogenen Substitutionsgruppen, Sitzungsl)erichte 

 der Naturforscher- Gesellschaft zu Dorpat 1897, Jahrg. 18, -S. 259 hat 

 MoLiEN die dort gefundenen allgemeinen Resultate .speciell auf die 

 (nnq^pendeterminante angewendet. 



Ist X = (.r^J = X(R)Xii, so ergiebt sich durch Vergleichung der 

 (oefficienten A'on ?/'"' in (3.) 



(4-) |x(Ä).f/? = :^ .<•».. 



Ist also [R) = (rj, so ist 



(5-) X(^) = 2r,,,. 



?. 



Ist nun die von den Matrizen (A) , (B) , (C) ■■■ gebildete Gruppe der 

 Gruppe -^ isomorph, so ist {R) = (S). wenn RooS (mod. ®) ist. Daher 

 ist auch 7j(7?) — - 7^(5). Der Charakter % gehört also ebenfalls zur 

 (.ruppe ^. 



Sei L r= (l^.J irgend eine constante Matrix /'"" Grades von nicht 

 verschwindender Determinante. Wählt man dann für die / Lösungen 

 f'v- '''^'5 ■■■ •If'i" Gleichungen (i.) irgend / andere unabhängige Lösungen, 

 so erhält man statt A' immer eine mit AT ähnliche Matrix L~'XL und 

 bei passender Wald der / Lösungen jede solche Matrix. 



Man kann aber auch für p eine andere Wurzel der (ileichung 

 *(/.•-«£) = wälilen, und ferner ist für ICß jedes System von // Zahlen 

 zulässig, das gewisse Ungleichheiten befriedigt. Dann treten an die 

 Stelle der Grössen a'q , a'q, ■■ ■ andere, und statt der Matrix A' erhält man 

 eine Matrix C^= (w^,,), deren Elemente u^, lineare Functionen der Va- 

 rialjelen Xj{ sind. Bei jeder Wahl der willkürlichen Grössen ist aber IJ 

 eine zu j3 gehörige Matrix /'"' Grades, deren charakteristische Deter- 



