Frohrmus: Darstelluni; der Gni[)])pn cUircli lineare 8ul)stitutiniieii. 1005 



minante ^(.v — iis) ist. Da ^(x) die h (irösspu .C/^ nur in den /'" unab- 

 hängigen linearen Verbindungen o;^; enthält, so müssen die /"Grössen 

 t(„-, lineare Verl)indungen der Variabelen x^, sein. Nach einem Satze, 

 den ich in § 7 entwickeln werde, kann man daher eine constante 

 Matrix i so bestimmen, dass entweder U =^ L~'XL oder U ^ L^^X' L 

 ist, wo X' die zu X conjugirte Matrix ist, und zwar ist, wenn/>l ist, 

 nur der eine dieser beiden Fälle möglich. 



Für die hier betrachteten Matrizen kann nun aber, wenn /> 1 ist, 

 nicht U=L'^X'L sein. Denn ersetzt man die Variabelen Xj^ durch 

 i/ii oder ~^, so möge X in Y oder Z, und f^ in F oder W übergehen. 

 Dann ist XY=Z und UV=W. Ist nun U=L-\X'L, V=L-'Y'L, 

 W=L-'Z'L, so ist auch X'Y'=^Z', und folglich, weil X'Y'= {YX)' 

 ist, Z ^=YX = XZ. Ist also X ^ 'X{R)Xii, so sind je zwei der Ma- 

 trizen {A) , (B) , (C) ■■• mit einander vertauschbar. Die von ihnen ge- 

 bildete Gruppe und die ihr holoedrisch isomorphe Gruppe ^ ist folg- 



lieh eine commutative, und der zu ihr gehörige Charakter % li^f den 

 Grad/= 1 (Pr. §2.) Demnach ist U^ L~^XL. und man kann bei jeder 

 Verfügung über die willkürlichen Grössen die /" Lösungen a'f^ . o',/ , ■■ ■ 

 so wählen, dass U=^X wird. 



Gehört der Charakter % zur Gruppe -^ , so giebt es eine Prini- 



w 



function /*"" Grades 'if(y) der Determinante dieser Gruppe, die durch 

 die Substitution (5.) §1 in $(.r) ü])erg(4it. Diese kaiui als die Deter- 

 minante einer Matrix /'"' Grades {1/^^) dargestellt werden , deren Kie- 

 mente lineare Functionen der Variabelen y^^m sind, und die zur Grujipe 



^ gehört. Macht man darin die Substitution (5.) § i . so geht sie in 



eine Matrix A'= (^,,) über, die zur Gruppe i3 gehört, und deren Deter- 

 minante gleich *(.(:•) ist. Da jede andere Matrix, welche dieselben Eigen- 

 schaften besitzt, gleich L'^XL ist, so ist damit die ümkehrung des 

 oben erhaltenen Satzes bewiesen, nämlich dass, Avenn 7, zur Gruppe 



^ gehört, auch immer [R) = [S] i.st. falls RcoS (med.®) ist. 



§5- 

 Jetzt mögen die Grössen kji so gewählt werden . dass die Gleichung 

 •i'(k-U£) ^'{k-us) *"(/c-me) •■• = 



keine mehrfachen Wurzeln hat. Dann hat die Determinante der Scliaar 

 bilinearer Formen 



(I.) ^^^(/>>,^-.-M3p,_,-,)Mpl-( 



= PQ-'I "p '■q 



