Frobeniis : Darstellung der Gruppen durch lineare, Substitutionen. l'MI^ 



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( 6 . ) -i .f .X Mx'f>' + ^>'+ 1 ^«>, "„' '\ + ■■■ 



Über, die in /'Formen von/' Variabelen, /' Formen von /""Varialielen. 

 u. s. w. zerfällt. Durch dieselbe Suhstitution geht -»nr,, in 5i/.'r,' über. 

 Ist also X die Gruppenmatrix {Xp(^^i), so giebt es eine eonstante Matrix 

 A"" Grades L von nicht verschwindender Determinante der Art, dass die 

 aequivalente Matrix L^XL zerf'cällt in / einander gleiche Theilmatrizen 

 des Grades /, deren charakteristische Determinanten gleich '^(x-iit) 

 sind, in /' einander gleiche Theilmatrizen des Grades /', deren cha- 

 rakteristische Determinanten gleich ^\x—ue) sind, u. s. w., und die 

 /'+/"+■■■ = ''' Elemente dieser Theilmatrizen sind h von einander 

 unabhängige Variabele, weil sich &{x) nicht durch weniger als h lineare 

 Verbindungen der h Variabelen x,, ausdrücken lässt. 



Eine Darstellung einer Gruppe durch lineare Substitutionen, für 

 welche die entsprechende Determinante (3.) § 2 unzerlegbar ist, nenne 

 ich eine primitive Darstellung. Dann ist die Anzahl der Classen pri- 

 mitiver Darstellungen für die Gruppe Ö und für die mit ihr isomorphen 

 Gruppen gleich der Anzahl k der Classen conjugirter Elemente, worin 

 die Elemente von Jö zerfallen. Ist / die Anzahl der Variabelen, die eine 

 der Substitutionen transformirt , so werden die /c Zahlen r/ = /"- durch 

 Auflösung einer Gleichung k*''" Grades gefunden, die ich in meiner 

 Arbeit Über G ruppeneJui7-nkt''rr (Sitzungsberichte 1S96, §4, (12.)) ent- 

 wickelt habe. 



Zur Erläuterung dieser Transformation der Gruppenmatrix wähle 

 ich das Beispiel, das Dedekind im Jahre 1886 gefunden und mir im 

 April 1896 mitgetheilt hat. Seien 



I . <il)c 2 . bca 2 . cab 4 . ach 5 . rba 6 . bar 



die 6 Permutationen von 3 Symbolen. Die Substitutionen, die ahc 

 in diese 6 Permutationen überführen, mögen statt mit ,A, _B, C, •• mit 

 den Ziffern 1,2,- -6 bezeichnet werden. Sei p eine dritte Wurzel 

 der Einheit und 



w = .^1 + .r-i -I- .Tu , V = ^.'4 + .T:, + a",; . 



?<, = Xi+ CXi + C^X-i, Vi =: Xi-\- CX:, + c'-X,-,. 



?/v = .1-1 + p^X-i + p.F;i . V-2 = Xi + c'-X:, + pX,; . 



Ferner seien A', L und U die drei Matrizen 



a-o .i'i X3 X;, Xf, Xi 



X3 X2 Xi Xi; X^ X-„ 

 X,; .Tj X- X-, X; X, 



