Dann ist A' die Gruppenmatrix, und es ist 



XL = Li: L'XL = l\ 



und indem man L' L bildet, erkennt man, dass die Determinante; 

 von 1j nicht verschwindet. 



§6. 

 Die Formel (5.) § 4 führt zu einer tieferen Einsicht in die Be- 

 deutung der Gleichungen, die ich zur Berechnung der Charaktere 

 einer Gruppe § entwickelt lialic. Ist die Determinante der zur Gruppe 

 gehörigen Matrix 



X= (x«,,) = '^(/i).r,. (x,X = 1.2, ..■/) 



ein Primfactor /""""Grades 'i> der Gruppendeterminante, so sind die 

 /"■' Grössen x^^ unabhängige Variabele. Daher kann man den /iVa- 

 riabelen X/i solche Werthe geben , dass A' einer lieliebigen Matrix 

 /■"" Grades gleich wird. 



Die beiden ähnlichen Matrizen (vi) und (R)''(A)(R) = (ii) haben 

 dieselbe charakteristische Function |(.l)-^/{£')| = \{B)-u(E)\. Vergleiclit 

 man auf beiden Seiten dieser Gleichung die Coefficienten von w/"', so 

 erhält man nach (5.), § 4 y_,{A) — x,(B). Demnach ist %(R''AR) = %(A) 

 oder, was dasselbe ist, %(QP) --= %(PQ)- 



Tlieilt man die Elemente von i3 in tue /iClassen eonjugirter P]le- 

 mente, so möge die a^Classe aus /«„ Elementen bestehen (x = ,1. ■ ■ ■ k-\). 

 Durchläuft R alle /«Elemente von $>, und ist A ein bestimmtes Ele- 

 ment der ci"'" Classe, so stellt R~' AR jedes Element der Classe und jedes 



' Mal dar. Daher ist 



-(ß-'.l/n= f X'(li), 



wo die Summe rechts über die A„P]lemente d(>r a"'" Classe zu erstrecken 

 ist. Nun ist aber 



(N)i,(/V-'-4A') = i,(,^7^L4/0 = :^{li 'AUS) = (i,(ff-'J/0) (N ). 



/,■ />■ /.' A' 



Die dritte Summe erhält man aus der zweiten, indem man J\' dui-cli 



7i'.S' ers(>tzt. Mithin ist die Matrix '^'(R) mit (S) vertausch bar. also 



(") 

 auch mit i(.S').r,v, demnach mit jeder Matrix/'"" Grades. Diese Eigen- 



