FüoisEMUs: Dürsti'Huiig der (_ii-ii|ipen durcli lineare .Substitutionen. 1009 



Schaft hat al)er nur die Hau])tinati'ix, mit einem scalaren Factor mul- 

 tiplicirt. Folglich ist 



(I.) /X\R) = {E)/,„x^, f^{R-^AIi) = {E]hx„. 



Um den noch unhekannten Factor 7j„ zu bestimmen, bilde man auf 

 beiden Seiten die Summe der Diagonalelemente. Diese ist für jede 

 der /<„ mit (^4) ähnliclien Matrizen (li) gleich y^(R) = %{A) , und für (7:,') 

 gleich f. Mithin ist 



X» = x(--i) • 



t'()mi)onirt man die Matrix (A) mit der Matrix 



/g(S) = {E)h^Xi, 

 so erh.ält man 



(•) ' '' 



und, wenn man \\ieder auf beiden Seiten die Summe der Diagonal- 

 elemente bildet, 



(2.) /|'x(^Ä) = A3xM)x(ß)- fZx(Ä/r'BR) = /,x{A)x{B). 



Dies sind die Gleichungen, welche die Verhcältnisse der 7i: Werthe jedes 

 der k Charaktere bestimmen. 



Man kann aber diesen Formeln noch eine andere Deutung geben: 

 Seien fA^^B^Cc ^ ■• '^Jp 7' unabhängigen Einheiten eines Systems hyper- 

 complexer Zahlen, wofür die gewöhnlichen Regeln der Addition und 

 das distributive und associative Gesetz der Multiplication , aber nicht 

 das commutative vorausgesetzt werden. Diesen Bedingungen genügt 

 das Multiplication sgesetz 



(3-) ''a''/i = ''ab- 



Demnach vertritt Cjr die Zahl I. Setzt man mm 



(4). 5''- = 7^- 



so sind die /r complexen Zahlen f'o , i", • ••■ '"/._, mit jeder Zahl des Sy- 

 stems , also auch unter einander vertauschbar. Das Product von zweien 

 dieser commutativen Zahlen ist 



-^ e„e. = (S^^„) (2 e^ = 2 h. ,, „ e„ , 



wo K,.i,r angiebt, wie Aiele der //„/«,; Producte RS dem bestimmten 

 Elemente T gleich sind. Nach Pr. § 7 ist diese Anzahl, falls T der 



7"° Classe angehört, gleich. /?„;.,. , hat also für conjugirte Elemente T 

 denselben Werth. Mithin ist 



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