llJlO Sitzung der physikalisch -niathematisclien Chasse vom 18. November. 

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Demnach bilden die k unabhängigen Zahlen e^.e^, ■•■ f^._i für sieh 

 die Basis eines Systems complexer Zahlen, für die aber auch das com- 

 mutative Gesetz der Multiplication gilt. Wie ich Über Grupi^enchciraktfire 

 S. 99 1 gezeigt habe , gelten dafür überdies die Einschränkungen . unter 

 denen Weieestrass undÜEDEKiND solche Zahlensysteme untersucht haben. 

 Demnach giebt es wirkliche Zahlen %„, die, für e„ gesetzt, den Glei- 

 chungeji (5.) genügen: 



(6 . ) ''» '\i x„ Xi = ./■ - /'„ 5,,. X,,- 



Man kann daher nicht auf Widersprüche kommen, wenn man die bis- 

 herige Unabhängigkeit der h complexen Einheiten P]. durch die linearen 

 <Tleiclivingen e^ = %^fo oder 



(7.) /f^;^j: = Kxj'F 



einschränkt. Durch Multiplication mit fg fliessen daraus nach (3.) die 

 weiteren linearen Gleichungen 



(8.) /5)''W = ^'.X„V 



In Folge dieser Relationen reducirt sich die Anzahl der linear unab- 

 hängigen unter den Einheiten ejt auf /'% und diese kann man so wählen, 

 dass die Formeln für ihre Multiplication mit denen für die Composition 

 aller Matrizen /"■" Grades übereinstimmen. 



Die hier angedeutete Rechnung hat Dedekind für das in § 5 mit- 

 getheilte Beispiel einer Gruppe der Ordnung h = 6 durchgeliilirt und 

 für einige andere Gruppen der kleinsten Ordnungszahlen, so namentlich 

 für die Gruppe ü der Ordnung 8, die er die Quaternionengruppe ge- 

 nannt hat, weil das aus ihr abgeleitete System hypercomplexer Zahlen 

 mit dem System der HAMiLxoN'schen Quaternionen übereinstimmt. In 

 seiner Arbeit Ubej' Gruppen, deren sämmtltche Theiler JVormaltheikr sind, 

 Math. Ann. Bd. 48, spielt er S. 551 auf diese Beziehungen an mit den 

 W^orten: »Es findet aber, wie ich schon im Februar 1886 erkannt habe, 

 eine noch tiefer liegende Beziehung zwischen der Gruppe Q und Hamil- 

 ton"s Quaternionen statt«. Die Rechnung mit Quaternionen ist ja auch, 

 wenn man gewöhnliche complexe Zahlen als scalare Goefficienten zu- 

 lässt, der Reclinimg mit Matrizen zweiten Grades völlig aequivalent, 

 weil die beiden quaternären quadratischen Formen x"^ + y' + z^ + t"' und 

 xt-y: in einander transformirt werden können. Nur wenn man sich auf 

 reelle Goefficienten beschränkt, können die Quaternionen eine selbstän- 

 dige Bedeutung beanspruchen, deren Wesen darin besteht, dass es 

 ausser ihnen und den gewöhnlichen complexen Zahlen kein Zahlensystem 



