Froiucnii'.s: Darstellung der Gruppen durch lineare .Sulj.stitulionen. lUll 



giebt, worin ein Product nicht verschwinden kann , ohne dass einer der 

 Factoren Null ist, wie ich in meiner Arbeit Über lineare Substitutionen 

 und bilineare Forynen. Ceelle's Journ. Bd. 84. § 14 zuerst dargelegt habe. 



§7- 



Die Elemente x„i (a, ß = 1 , ".^ , ■•• n) einer Matrix n^'" Grades A' 

 seien n' von einander unabhängige Variabele. Vertauscht man in A' 

 die Zeilen mit den Spalten, so erhält man die zu X conjugirte Ma- 

 trix A'. Die Elemente der beiden Matrizen ^4 und B seien constante 

 Grössen. Ihre Determinanten \A\ und \B\ seien von Null verschiedene 

 Grössen, deren Product gleich k ist. Dann haben die beiden Matrizen 

 AXB und AX'B die Determinante /i|A|, und in jeder von ihnen sind 

 die Elemente lineare Functionen der if Variabelen x^a,. Umgekehrt 

 gilt der Satz: 



I. Sind die Elemente der Matrix X unabhängige Variabele und die 

 der Matrix Y lineare Functionen dieser Variabelen_, und unterscheidet sich 

 die Determinante der Matrix Y von der der Matrix X nur um einen con- 

 stanten iion Null verscliie.denen Factor, so ist entweder Y = AXB oder 



Y = AX'B, ICO A U7id B constante Matrizen sind; und zwar tritt, wenn 

 der Grad von X grösser als 1 ist, nur einer dieser beiden Fälle ein, und 

 die Matrizen A und B sind bis auf einen scalaren Factor vollständig be- 

 stimmt. 



Der zweite Theil dieses Satzes ist leicht zu beweisen. Denn sei 



Y = AXB =: CXD. Setzt man darin ^'„3 =; oder 1 , je nachdem 

 a und /S verschieden oder gleich sind , so folgt daraus AB = CD, imd 

 wenn man BD' = A'^C = F setzt, AT = FX. Demnach ist F mit 

 jeder Matrix vertauschbar, und mithin ist F = hE, wo /; ein scalarer 



Factor und E die Hauptmatrix ist. Folglich ist C = hA und D = j B. 



Ist ferner H>1, so kann auch nicht AXB = CX'D sein. Denn daraus 

 folgt in derselben Weise XF = FX', also z. B. für n = 2 



.V i/\ la b\ _ la h\ /.. 

 ,z't)\c d) '-= \c d}\y t) 



Diesen vier linearen Gleichungen kann man , wenn die .Unbekannten 

 a.b. cd von den Variabelen x,y,z,f unabhängig sein sollen, nur 

 durch verschwindende Werthe der Constanten genügen. 



Zwischen den Unterdeterminanten w"" Grades (0<»^<?^) der Ma- 

 trix X besteht keine lineare Relation mit constanten Coefficienten. Denn 

 seien u, v,w, ••• diese Unterdeterminanten, a,b,c, ■■■ Constante, und 

 sei au + bv + cw + • • • ^0. Setzt man darin alle Variabelen x^- = 

 ausser den m' in ?/ vorkommenden, so verschwinden v , 10 , ■ ■ ■ , und 



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